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第三章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系,同角三角函数的基本关系式,sin2+cos2=1,1.判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)对任意角， 都成立.( ) (2)对任意角，sin 2+cos 2=1都成立.( ) (3)对任意角， 都成立.( ) (4)对任意角，sin2+cos2=1都成立.( ),【解析】(1)正确.当R时， 都成立. (2)错误.当R时，sin 2与sin2的含义不同，且当为 角度制时2无意义，即sin 2无意义. (3)错误,当2k+ ,kZ，即 kZ时，才成 立. (4)错误,必须是对同一个角. 答案：(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)sin225+cos225=_. (2) =_. (3) =_. (4)tan 135cos 135=_.,【解析】(1)sin225+cos225=1. 答案：1 (2) 答案: (3) 答案：,(4)tan 135cos 135= cos 135=sin 135 =sin(180-45)=sin 45= 答案：,【要点探究】 知识点 同角三角函数基本关系 1.适用的前提条件 必须在等式两边的角均有意义的前提下才能使用，如式子 不成立.,2.对“同角”的理解 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数 的运算规律，这里，“同角”有两层含义:一是“角相同”如 与 ,2与2都是同角,二是对“任意”一个角(在使函数 有意义的前提下).关系式成立与角的表达形式无关,如 3.应用平方关系的注意点 在应用平方关系式求sin 或cos 时,其正负号是由角所 在的象限决定的,不可凭空想象.,4.同角三角函数基本关系的常用等价变形 (1)sin2=1-cos2,cos2=1-sin2. (2)sin =cos tan , (3) (4),【微思考】 (1)利用平方关系求sin 或cos 是否会得到正负两个值？请说明理由. 提示：不一定，其正负号由角所在的象限决定. (2)由tan 的值求sin 与cos 的关键是什么？ 提示：由商数关系与平方关系构造关于sin 与cos 的方程组求解.,【即时练】 1.(2014南昌高一检测)已知sin = 且为第二象限的 角，则tan =( ) 2.已知tan =2，求cos 的值,【解析】1.选A.因为为第二象限的角， 所以,2.由tan 2知 sin =2cos ，则sin2=4cos2.又因为sin2+cos2=1， 所以4cos2+cos2=1，即cos2= 又tan =20,是第一或第三象限的角, 若是第一象限的角，则cos 0, 所以cos =,若是第三象限的角，则cos = 综上可知：若是第一象限的角，则cos = 若是第三象限的角，则cos =,【题型示范】 类型一 利用同角关系求三角函数式的值 【典例1】 (1)已知cos sin = 则cos -sin 的值等于( ) (2)(2014天津高一检测)已知tan = 计算:,【解题探究】1.题(1)中cos -sin 与cos sin 之间的关系是什么？ 2.题(2)中所求的式子能否转化为关于tan 的式子，方法是什么？ 【探究提示】 1.(cos -sin )2=1-2cos sin . 2.能转化为关于tan 的式子，方法是分子、分母同时除以cos 或cos2.,【自主解答】(1)选B.因为cos sin = 所以cos -sin = (2) =,【延伸探究】若题(2)中“ ”，则 tan 的值如何？ 【解析】因为 = 由已知得 即tan2-2tan =0. 解得tan =0或2. 经检验知，均符合要求，所以tan =0或2.,【方法技巧】 1.关于sin ，cos 的齐次式的求值策略 (1)关于sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，再代入求值. (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2+cos2来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于tan 的式子，再代入求值.,2.利用sin cos 与sin cos 间的关系求值 (sin +cos )2=1+2sin cos ; (sin -cos )2=1-2sin cos . 对sin -cos ,sin +cos ,sin cos 可以“知一求二”.,【变式训练】已知sin +cos = (0), 求sin cos 和sin -cos 的值. 【解析】因为sin +cos = (0), 所以(sin +cos )2= 即sin2+2sin cos +cos2= 所以sin cos =,由上知，为第二象限的角， 所以sin -cos 0, 所以sin -cos = =,【误区警示】本题解题时易忽视sin cos 0,sin - cos 的符号为正，而误为应取正负，从而造成错解.,【补偿训练】已知tan + =3，求tan2+(sin - cos )2+ 的值. 【解析】由 即 所以sin cos = 所以原式= -2+(1-2sin cos )=32-2+1-,类型二 利用同角关系化简三角函数式 【典例2】 (1)(2014安庆高一检测)函数 ( ) A.在 上递增 B.在 上递增，在 上递减 C.在 上递减 D.在 上递减，在 上递增,(2)化简下列各式. (2014西安高一检测) 其中为第三 象限角.,【解题探究】1.题(1)中研究函数f(x)的单调性关键是什么？ 2.化简含有弦、切及根号的三角函数式的一般思路是什么？ 【探究提示】1.关键是将f(x)化简到tan x的形式. 2.一般思路是切化弦,做到函数名称统一及根据平方关系去掉根号，再化简.,【自主解答】(1)选D.在区间 上，f(x)= 所以其在 上递增，在 上递减.,(2) 因为为第三象限角，所以-1sin 0,-1cos 0，1+sin 0,1-sin 0. 则,【方法技巧】三角函数式化简的三种常用技巧 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2+cos2=1,以降低函数次数,达到化简的目的.,【变式训练】化简： =_. 【解题指南】把1-2sin 10cos 10配凑成(cos 10- sin 10)2即可开方. 【解析】 答案:-1,【补偿训练】化简：cos4+sin2(1+cos2). 【解析】原式=cos4+sin2cos2+sin2 =cos2(cos2+sin2)+sin2 =cos2+sin2=1.,类型三 利用同角关系证明三角恒等式 【典例3】 (1)求证： (2)(2013安康高一检测)求证： 【解题探究】1.题(1)中，sin ,cos 与tan 共存，一般用到哪个关系式？ 2.对于题(2)，左右两边差异是什么？如何消除差异？,【探究提示】 1.一般会用到 2.差异有两点，一是函数名称，二是式子形式，可通过切化弦或者弦化切来消除差异.,【自主解答】(1)左边= = = =右边， 所以原式成立.,(2)方法一：右边= = = =3-2cos2=左边， 所以原式得证.,方法二：左边= = =右边， 所以原式得证.,【方法技巧】 1.利用同角关系证明三角恒等式常用的途径 (1)由左边推至右边，或由右边推至左边，遵循的是化繁为简 的原则. (2)两边夹法，即左边=A，右边=A，则左边=右边，这里的A起 着桥梁的作用. (3)左边-右边=0，或 =1，通过作差或作商，将原式转化 为一个等价的、更便于证明的等式.,2.证明过程中的三个注意 (1)注意化繁为简，化切为弦. (2)注意公式的变式运用.如12sin cos =(sin cos )2等. (3)注意为分式运算时，要把握通分的时机，不要随意通分，争取在变式化简时往同分母的方向化简.,【变式训练】求证： 【解题指南】由于等式两边的结构较复杂，可考虑分别将等式 两边化简，利用“两边夹法”证明.,【证明】左边= 右边= 左边=右边，原式得证.,【补偿训练】已知sin2A+cos2Asin2Bcos2C=sin2B.求证：tan2A=sin2Ctan2B. 【证明】由已知sin2A+cos2Asin2Bcos2C=sin2B， 则sin2A+cos2Asin2B(1-sin2C)=sin2B， 所以sin2A+cos2Asin2B-cos2Asin2Bsin2C=sin2B， cos2Asin2Bsin2C=sin2A-sin2B(1-cos2A)， 即：cos2Asin2Bsin2C=sin2Acos2B， 两边同除以cos2Acos2B得 tan2A=sin2Ctan2B.,【易错误区】忽视角的范围定错符号而致误 【典例】(2014合肥高一检测)已知sin +cos = (0，)，则tan =_.,【解析】将等式sin +cos = 两边平方，得2sincos = 0,又因为(0,)，所以sin 0,cos 0， 可得1-2sin cos = sin2+cos2-2sin cos = 所以(sin -cos )2= 即sin -cos = 由sin +cos = 和sin -cos = 解得,所以 答案：,【常见误区】,【防范措施】 1.挖掘好题设条件，限制准角的范围 对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，根据所给角的范围结合函数值正负，压缩角的范围是定准符号的关键. 2.公式要记牢，运算要准确 要掌握好同角三角函数的基本关系，能熟练地进行平方关系的转换，及利用商数关系求正切.,【类题试解】已知sin +cos = 其中0,则 sin -cos =_. 【解析】因为sin +cos = 所以(sin +cos )2= 所以1+2sin cos = 所以sin cos = 因为0且sin cos 0,所以sin 0,cos 0, 所以sin -cos 0. 又因为(sin -cos )2=1-2sin cos = 所以sin - cos = 答案：,
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