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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 必修1,集合与函数的概念,第一章,章末归纳总结,第一章,集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析,专题一 集合学习中的注意点剖析,1注意正确理解、运用集合语言 例1 (1)设集合Ax|yx2，B(x，y)|yx2，则AB_； (2)设集合My|yx21，xR，Ny|yx1，xR，则MN( ) A(0,1)，(0,2) B(0,1)，(0,2) Cy|y1或y2 Dy|y1 分析 首先分析两个问题中集合中的元素特征，再求交集,解析 (1)集合A中的元素为数，即表示二次函数yx2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线yx2上的点的集合这两个集合不可能有相同的元素，故AB. (2)集合M，N的元素都是数，即分别表示定义域为实数集R时，函数yx21与yx1的值域，不是数对或点，故选项A，B错误而My|yx21，xRy|y1，Ny|yR，所以MNM.故选D. 答案 (1) (2)D,规律总结 学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的,2注意元素的互异性 例2 已知1a2，(a1)2，a23a3，求实数a的值 解析 由题意a21，或(a1)21，或a23a31，解得a1，或a2，或a0. 当a2时，(a1)2a23a31，不符合元素的互异性这一特点，故a2. 同理a1. 故a0.,规律总结 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性在解含有参数的集合问题时，忽视元素(或参数)的特性，往往容易出现错误，要注意解题后的代入检验,3注意空集的特殊性 例3 已知全集U1,2,3,4,5，Ax|x24xp0，求UA. 分析 符号UA隐含了AU，注意不要忘记A的情形,解析 当A时，方程x24xp0无实数解 此时164p0，p4， UAUU1,2,3,4,5 当A时，方程x24xp0的两个根x1，x2(x1x2)，必须来自于U. 由于x1x24，所以x1x22或x11，x23. 当x1x22时，p4，此时A2，UA1,3,4,5； 当x11，x23时，p3，此时A1,3，UA2,4,5,综上所述，当p4时，UA1,2,3,4,5； 当p4时，UA1,3,4,5； 当p3时，UA2,4,5 规律总结 求集合的补集时，不要忘记的情形分类讨论是重要的数学思想方法之一，在集合的有关问题中常常用到,求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合 (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义,专题二 求函数的定义域,(3)复合函数问题： 若f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由ag(x)b解出； 若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域 注意 f(x)中的x与f(g(x)中的g(x)地位相同；定义域所指永远是x的范围,答案 (1)D (2)A,二次函数的单调性关键在于开口方向和对称轴与区间的位置 例5 已知f(x)x22(a1)xa2，分别求下列条件下a的取值范围 (1)函数f(x)的减区间为(，1； (2)函数f(x)在(，1上递减； (3)函数f(x)在1,2上单调 分析 此题关键在于对单调、减区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定,专题三 二次函数的单调性,解析 函数f(x)x22(a1)xa2的对称轴为x1a. (1)由于减区间为(，1，因此，1a1， a2. (2)由于函数在(，1上递减，应满足1a1，a2. (3)由于函数在1,2上单调，应满足1a1或1a2，a2或a1.,解决二次函数的区间最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想即可解决问题下面通过例题详细分析此类问题的解法,专题四 二次函数的区间最值,1定轴定区间 例6 当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值 分析 作出函数图象在所给范围的草图(画出对称轴)，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值 解析 作出函数的图象如图，当x1时，ymin4；当x2时，ymax5.,点评 本题已知二次函数在自变量x的给定区间m，n上的图象是抛物线的一段，那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值,2动轴定区间 例7 求函数f(x)x22ax1在0,2上的最值 分析 因为对称轴xa位置不定，故应分类讨论来确定f(x)在0,2上的最值 解 二次函数f(x)x22ax1的图象开口向上，对称轴方程为xa. 当a0时，f(x)在0,2上是增函数，此时f(x)的最小值为f(0)1，最大值为f(2)44a134a； 当0a1时，f(x)在0，a上是减函数，在a,2上是增函数，此时f(x)的最小值为f(a)a21，最大值为f(2)34a；,当1a2时，f(x)在0，a上是减函数，在a,2上是增函数，此时f(x)的最小值为f(a)a21，最大值为f(0)1； 当a2时，f(x)在0,2上是减函数，此时f(x)的最小值为f(2)34a，最大值为f(0)1. 点评 区间定，对称轴不定时，一般解法为：分别把对称轴平移至定区间的左侧、右侧及之间进行讨论，从而确定最值是在端点处取得还是在顶点处取得,例8 已知函数f(x)x22ax2，求f(x)在5,5上的最大值与最小值 分析 由于二次函数的最值与对称轴有关，而本题中函数的对称轴为直线xa，位置不确定，所以应按对称轴与区间5,5的相对位置进行分类讨论,解析 f(x)x22ax2(xa)22a2，x5,5，对称轴为直线xa. (1)当a5，即a5时，函数f(x)在5,5上单调递增，如图(1)， f(x)maxf(5)522a522710a， f(x)minf(5)(5)22a(5)22710a. 当5a0，即0a5时，如图(2),f(x)maxf(5)522a522710a， f(x)minf(a)2a2. (3)当0a5，即5a0时，如图(3)， f(x)maxf(5)(5)22a(5)22710a，f(x)minf(a)2a2.,规律总结 (1)函数f(x)在a，b上单调递增时，f(x)maxf(b)；函数f(x)在a，b上单调递减时，f(x)maxf(a)；函数f(x)在a，b上不是单调函数时，找出图象上最高点的纵坐标，即为函数f(x)的最大值，图象上最低点的纵坐标，即为函数f(x)的最小值 (2)二次函数在给定区间m，n上的最值求解，常见的有以下四种情况： 对称轴与区间m，n均是确定的； 动轴定区间，即对称轴不确定，区间m，n是确定的； 定轴动区间，即对称轴是确定的，区间m，n不确定；,3定轴动区间 例9 二次函数f(x)x22x2，当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t) 分析 因为对称轴固定，区间不定，此题可从三个方面进行讨论：区间在对称轴左侧；区间在对称轴右侧；对称轴在区间内,抽象函数是相对个体的函数而言的，是指没有给出具体的函数解析式或对应关系，只是给出函数所满足的一些条件或性质的一类函数 抽象函数问题一般是由所给的条件或性质，讨论函数的其他性质，如单调性、奇偶性，或是求函数值、解析式等下面对抽象函数的单调性、奇偶性问题举例说明,专题五 例析抽象函数单调性、奇偶性的解法,例10 奇函数f(x)的定义域为R，且在0，)上为增函数，那么是否存在m使f(2t24)f(4m2t)f(0)对任意t0,1均成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由 分析 根据题目条件，化抽象不等式恒成立问题为具体不等式恒成立问题是解决本题的突破口 解析 f(x)是奇函数且定义域为R， f(0)f(0)，即f(0)0. f(2t24)f(4m2t)0， 即f(2t24)f(2t4m) 又f(x)在R上单调递增，2t242t4m.,1数形结合思想 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体,专题六 思想方法总结,例11 已知函数f(x)x22|x|1(3x3) (1)证明：f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性； (4)求函数f(x)的值域,(3)函数f(x)的单调区间为3，1)，1,0)，0,1)，1,3 f(x)在3，1)，0,1)上为减函数；在1,0)，1,3上为增函数 (4)f(x)图象在y轴上的纵投影为2,2， 故函数f(x)的值域为2,2,规律总结 (1)含绝对值符号的函数图象的画法： 根据绝对值定义去掉绝对值符号，将原函数化为分段函数； 依次作每一段的图象 (2)注意事项： 若原函数具有奇偶性，可利用奇(偶)函数的对称性作图象； 通常令绝对值号内的式子等于0，以求得讨论的分界点,2分类讨论思想 分类讨论问题的实质是：把整体问题化为部分来解决，从而增加了题设条件，这也是解决分类问题的指导思想，根据题意，要适当划分讨论的层次 解分类讨论问题的步骤是： (1)确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论； (2)对所讨论的对象要进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一，分层不越级)； (3)逐类讨论，即对各类问题逐类讨论，逐个解决；,(4)归纳总结，即对各类问题总结归纳，得出结论 本章常见分类讨论的问题如下表：,例12 设集合Axy，xy，xy，Bx2y2，x2y2,0，且AB，求实数x和y的值及集合A、B. 解析 AB,0B，0A， 若xy0，或xy0，则x2y20与集合元素的互异性矛盾，xy0且xy0，xy0， x0或y0， 若y0，则与集合元素的互异性矛盾，x0， Ay，y,0，By2，y2,0，,规律总结 观察能力是学习数学必须培养的一种重要能力审题时，注意观察分析，找出解决问题的关键所在，本题中AB,0B，即是解题的突破口,3转化与化归思想 为了解决问题的方便，我们经常把所给问题进行形式上的变化，把要解决的问题转化为已经解决的问题这种解决问题的思想就是转化与化归思想 例13 对任意x1，)，不等式x22xa0恒成立求实数a的取值范围 解析 由已知x1，)，x22xa0恒成立， 即ax22x，x1，)恒成立 令g(x)x22x，x1，)， 则原问题可转化为a小于g(x)在1，)上的最小值问题,g(x)(x1)21的图象的对称轴为x1， 函数g(x)在1，)上是增函数 当x1时，g(x)取最小值，g(1)3. a3. 实数a的取值范围为a|a3 规律总结 ag(x)，x1，)恒成立，指的是对1，)内的任意x，该不等式永远成立，因此只要有ag(x)min，就能保证ag(x)，x1，)恒成立如果是ag(x)恒成立，则需ag(x)min.,4函数与方程思想 函数思想是将所给问题转化为函数的问题，利用函数的性质，研究后得出所需的结论利用函数思想处理问题，首先要熟练掌握常见函数的图象特征，同时要善于观察问题的结构特征，揭示内在联系，从而恰当构造函数并准确地利用函数性质使问题得以解决 例14 当m为怎样的实数时，方程x24|x|5m有四个互不相等的实数根？,解析 先作出yx24|x|5的图象 y 作出图象如图所示 从图中可以直接看出，当1m5时，方程有四个互不相等的实数根,例15 定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(4x)，且f(2x)f(x2)0，求f(2 012)的值 分析 可巧妙的通过tx2赋值，由f(t)f(t)0，得f(x)为奇函数 解析 f(2x)f(x2)0， 令tx2，xt2.代入有f(t)f(t)0， f(x)为奇函数，则有f(0)0. 又f(x4)f4(x4)f(x)f(x)， f(x8)f(x4)f(x)， f(2 012)f(2 0084)f(2 008)f(2 0008)f(2 000)f(1 9928)f(1 992)f(0)0.,
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