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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 必修1,函 数,第二章,章末归纳总结,第二章,函数是中学数学重要的基础概念之一，是高中代数的一条主线，贯穿于中学数学的始终，是进一步学习高等数学的基础函数思想是解决数学问题的重要思想，函数知识是高中数学的重点和难点，也是高考重点考查的内容 本章主要内容分四大节，分别是：函数、一次函数和二次函数、函数的应用()、函数与方程函数的概念建立在集合与对应的语言环境下，相对于变量x、y之间的元素依赖关系无疑是质的飞跃、映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射,从日常生活、生产和进一步学习的需要来看，有关函数的知识是非常重要的例如，在讨论社会问题、经济问题时，越来越多地运用数学的思想与方法，函数的内容在其中占有相当的地位又如，计算机日渐普及，学习、使用计算机需要函数图象的有关知识函数思想与知识应用的独特性与广泛性，更增添了函数的无穷魅力,1判断函数单调性的方法 (1)直接法 对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接判断它们的单调性 (2)图象法 画出函数的图象，根据其图象的上升或下降趋势判断函数的单调性 (3)定义法 利用证明函数单调性的四个步骤(取值；求y；判断符号；下结论)进行判断,专题一 函数的性质及应用 单调性是函数的重要性质对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面，函数单调性的应用十分广泛 奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论,分析 本题主要考查函数单调性的逆向应用解题的关键是去掉“f”符号，转化为关于x的不等式问题,已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2, f(1)g(1)4，则g(1)等于( ) A4 B3 C2 D1,解析 根据奇、偶函数的性质， 将f(1)和g(1)转化为f(1)，g(1)列方程组求解 f(x)是奇函数，f(1)f(1) 又g(x)是偶函数，g(1)g(1) f(1)g(1)2，g(1)f(1)2. 又f(1)g(1)4，f(1)g(1)4. 由，得g(1)3. 答案 B,专题二 函数的图象及应用 函数的图象是函数的三种表示形式之一，是高考考查的重要内容，函数图象应用广泛利用数形结合解题在高考试题中经常出现，有时还考查利用平移变换、对称变换作函数的图象 1平移变换 (1)水平平移：函数yf(x)的图象沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)或向下(a0)平移|a|个单位长度，就得到yf(x)a的函数图象 (1)(2)总结为“左加右减，上加下减”,把函数y2x22x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式是_ 解析 令f(x)2x22x，把f(x)的图象向右平移2个单位长度后得到y2(x2)22(x2)的图象，再向下平移3个单位长度后得到y2(x2)22(x2)3的图象，即y2x210x9的图象 答案 y2x210x9,2对称变换 (1)如yf(x)，其函数图象与函数yf(x)的图象关于y轴对称 (2)如yf(x)，其函数图象与函数yf(x)的图象关于x轴对称 (3)如yf(x)，其函数图象与函数yf(x)的图象关于原点对称,对于定义在R上的函数f(x)，有下列四个命题： 若f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点A(1,0)对称； 若对任意xR，有f(x1)f(x1)，则yf(x)的图象关于直线x1对称； 若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)为偶函数； 函数yf(x1)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称 其中正确命题的序号为_(把你认为正确命题的序号都填上),解析 正确，若f(x)是奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，而函数f(x1)的图象相当于把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所以函数f(x1)的图象关于点A(1,0)对称；正确，函数f(x)的图象相当于把函数f(x1)的图象向左平移一个单位长度，所以f(x)为偶函数 答案 ,直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_,3翻折变换 (1)对于y|f(x)|的图象，可将yf(x)的图象位于x轴及x轴上方的部分不变，下方的部分作关于x轴的对称翻折而得到，如图1，将yf(x)及y|f(x)|的图象分别绘在两个坐标系中对照；,(2)yf(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与yf(x)图象相同，而yf(|x|)是偶函数，再在y轴左侧作右侧部分的对称图象即可如图2所示,专题三 函数值域的求法 1观察法 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域,求下列函数的值域： (1)y2|x|； 分析 (1)中|x|0；(2)的形式称为分段函数，分别求各段的值域,解析 (1)|x|0，2|x|2. 函数y2|x|的值域为(，2 (2)当x1，即y1. 当x0时，y0. 当x0时，3x20，即y0. 原函数的值域为(，0(1，) 点评 利用已学基本函数的值域，用直观的方法确定所求函数的值域是求值域的一种常用方法,2配方法 对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，求出函数的值域 求下列函数的值域： (1)yx26x8； (2)yx26x8，x(1,2)； 分析 将二次函数配成ya(xh)2k的形式，画出图象，结合图象确定函数的值域,解析 (1)yx26x8(x3)21，如图所示，函数的值域为1，) (2)y(x3)21，如图所示 函数的值域为(0,3),(3)32xx20，即1x3， 设y132xx2(x1)24. 如图所示，当y10，即1x3时，函数有意义 函数y132xx2，x1,3的值域为0,4，则原函数的值域为0,2,点评 (1)配方法是求值域的最基本的方法，利用配方法，可求二次函数及相关函数的值域 (2)要确定值域，先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”的原则,3换元法 通过对函数解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域,分析 利用换元法将无理函数转化为有理函数求函数的值域,分析 本题中的函数没有零点，且含有参数，可利用函数的零点与方程根的关系来求解,解析 函数y|x|xa没有零点， 即方程|x|xa0无实数根， 也就是函数y|x|与yxa的图象没有交点 在同一坐标系中作出函数y|x|与yxa的图象，如图所示,由图象可知，要使函数y|x|与yxa的图象没有交点，应满足a0，故选D 答案 D,专题五 数学思想与方法 1函数与方程思想 函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式(如单调性、最值等)或构造中间函数结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值，解(证)不等式、解方程以及讨论参数取值范围等问题方程思想，是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型，加以解决,已知二次函数f(x)ax2bx(a，b是常数，且a0)满足条件：f(2)0且方程f(x)x有两相等实根 (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m，n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和2m,2n？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由,2数形结合思想 把数量关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，恰当地变更问题，使问题化难为易、化繁为简这就是“数形结合”的根本特征,答案 2,3分类讨论思想 分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，从而增加了题设条件，这也是解决分类问题的指导思想，根据题意，要适当划分讨论的层次,已知函数f(x)x2(2a4)x2在1,1内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式 分析 欲求f(x)在1,1上的最小值g(a)，需考察f(x)在1,1上的单调性，而f(x)在1,1上的单调性与对称轴相对于区间1,1的位置有关，即对称轴在区间1,1之左、之内、之右时，f(x)在1,1上的单调性不同因此需关于对称轴相对于区间1,1上的位置展开讨论,解析 对二次函数式配方法，可得 f(x)x(a2)2(a2)22，x1,1 其图象的对称轴为直线xa2. 当a21，即a1时，函数f(x)在1,1上单调递增，所以函数的最小值为g(a)f(1)，即g(a)2a1. 当1a21，即1a3时，函数的最小值为g(a)f(a2)，即g(a)(a2)22.,4赋值思想 对于有些抽象函数，往往利用赋值法可得其性质，将复杂问题简单化 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图象的对称性，或是求函数值、解析式等主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题,定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(ab)f(a)f(b) 求证：(1)f(0)1； (2)对任意的xR，恒有f(x)0.,
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