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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 必修1,集 合,第一章,章末归纳总结,第一章,本章主要学习了集合的概念，元素与集合、集合与集合间的关系，以及子集的性质与集合间的运算性质等 1集合是“某些指定对象的全体” 构成集合的元素除了常见的数或点等数字对象外，还可以是其他对象,集合的元素具有：确定性；互异性；无序性 集合的表示方法：列举法、描述法、维恩图法 解答集合问题，要明白它所表示的意义，即元素指什么？是什么范围？紧紧抓住竖线前面的代表元素及它所具有的性质 判断给定对象能否构成集合时，要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，注意它的“互异性”、“无序性”,2元素与集合，集合与集合间的关系 元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系 元素与集合间用“”或“”表示 集合与集合之间有包含关系，如子集关系，相等关系，真子集关系 熟练掌握集合的图形表示，会借助维恩图、数轴解决集合问题，树立数形结合解题的意识,3“交、并、补”都是集合的运算，对于两个集合而言，交集是指这两个集合的公共元素组成的集合，并集是指由这两个集合的全部元素组成的集合(要注意集合元素的互异性)补集必须相对于指定的全集而言，一个集合的补集是指由不属于这个集合的全集中的全部其他元素组成的集合 4求解含参数的集合运算问题，先对集合化简，使问题明朗化，再对参数进行讨论，讨论时既不能重复又不能遗漏,5在集合运算过程中应力求做到“三化”： (1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形 (2)具体化：求出具体的相关集合；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式 (3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助“数形结合思想”解决问题,1集合的子集、真子集的个数 我们可通过举例，从实例中归纳出一般规律如a，b的所有子集为，a，b，a，b，所以子集有4个，真子集有3个；a，b，c的所有子集为，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，子集有8个，真子集有7个由此，一个集合的子集个数与集合中元素的个数有关，我们可以归纳出：若一个非空集合含有n个元素，则它有2n个子集，(2n1)个真子集，(2n2)个非空真子集,2集合的基本运算问题 集合的运算主要包括交集、并集、补集等，解决集合运算的基本方法是先化简确定集合的元素，然后借助Venn图或数轴将抽象的问题具体化，一般地，集合用Venn图或数轴表示，在用数轴表示时，要注意端点值的取舍,已知集合Ay|yx2，xR，By|yx2，xR，求AB 解析 Ay|yx2，xRy|y0， By|yx2，xRy|yR ABy|y0， 点评 进行集合间的运算时，弄清集合中的元素是什么？是进行集合运算的前提同时，我们要注意区分点集与数集,注意集合中的元素是什么,专题一 集合问题中几个注意的地方,已知集合Ax|ax22x10，xR，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围,注意空集的特殊性,(2)当a0，若A中有一个元素，即方程ax22x10有两个相等的实数根，则44a0，解得a1，此时A1，满足题意； 若A中无元素，即方程ax22x10无实数根，则44a1，此时A，满足题意 故所求实数a的取值范围是a|a0，或a1,已知M1，t，Nt2t1，若MNM，求t的取值集合 分析 由MNM，得NM，则N中的元素也在集合M中，则令M中的两个元素分别与t2t1相等求解,注意集合中元素的互异性,解析 MNM，NM，即t2t1M， (1)若t2t11，即t2t0，解得t0或t1， 当t1时，M中的两元素相同，不符合集合中元素的互异性，舍去 t0. (2)若t2t1t，即t22t10，解得t1， 由(1)知不符合题意，舍去 综上所述，t的取值集合为0,定义集合运算：集合ABz|zxy(xy)，xA，yB，集合A0,1，B2,3，则集合AB的所有元素之和为( ) A0 B6 C12 D18,定义型,解析 由集合AB的新定义xA，yB得，x0，y2或x0，y3或x1，y2或x1，y3，故z0,6,12，则AB0,6,12，则集合AB的所有元素之和为18，故应选D 答案 D,已知集合A2,4,6,8,9，B1,2,3,5,8，是否存在集合C，使C的每一个元素都加上2就变成了A的一个子集；且C的各个元素都减去2，就变成了B的一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，请说明理由 解析 假设存在集合C满足条件，因为C，且C0,2,4,6,7，C3,4,5,7,10，C4或7或4,7,开放探究型,点评 存在性问题，先假设存在，问题转化的关键就在于集合A与B的逆向转换，从两个方面去寻找集合C，逆向操作：A中元素减2得0,2,4,6,7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3,4,5,7,10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7或4、7.,数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合通过对图形的认识，数、形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题集合中常用的方法是数轴法和维恩图法,数形结合思想,1数轴法 对初学者来说，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错此时，数轴分析法是个好帮手，它能将复杂问题直观化在具体应用时，要注意端点是实心还是空心，以免增解或漏解,已知集合Ax|1x3，Bx|xm2 (1)若AB，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围 解析 由题意得Ax|1x3，Bx|xm2 (1)在数轴上画出集合A和B，若AB，则实数m2落在1的左边或与1重合， 所以m21，即m3.,(2)在数轴上画出集合A和B，若AB，则实数m2落在3的右边或与3重合， 所以m23，即m1.,2维恩图法 维恩图是集合语言中的图形语言，它易引起清晰的视觉形象，能直观地表达概念问题的本质以及相互之间的关系加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识，夯实基础，提高能力具有重要意义,已知I为全集，集合M、NI，若MNN，则( ) AIMIN BMIN CIMIN DMIN 解析 根据条件画出韦恩图，由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择 答案 C,分类整合思想是数学思想中比较重要的一种思想，利用分类整合思想解决分类整合问题，已成为高考考查学生知识和能力的热点问题首先，分类整合问题一般都覆盖较多知识点，有利于对知识面的考查；其次，解分类整合问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想和技巧，有利于对能力的考查，运用分类整合思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到“不重不漏”,分类整合思想,已知Mx|x23x20，Nx|x22xa0，若NM，求实数a的取值范围 分析 M、N都是以一元二次方程的根为元素组成的集合，一个集合的子集一定有. 解析 Mx|x23x201,2， 又NM，N，或N1，或N2，或N1,2 (1)当N时，方程x22xa0的判别式44a1.,点评 分类整合思想是一种重要的思想方法，即通过化整为零、各个击破的方法，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决,在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”、“ABA”、“ABB”、“AB”等都是同一含义另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路,转化与化归思想,答案 D,有些集合问题，条件很多，未知量也多，这时可以考虑通过列出方程或方程组来解决问题，既直观又快捷,一,方程思想,已知集合Aa，ab，a2b，Ba，ax，ax2若AB，求实数x的值 分析 由集合相等可得两集合中的元素对应相等，列出方程组即可，求解后注意集合中元素的互异性,对于比较复杂，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系时，这时能化难为易，从而将问题解决，这就是补集思想，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现集合中的补集运算常与方程、不等式等联系起来，特别是否定性的条件，如aA，可转化为aRA，有时求解将会十分方便，省去一些复杂的讨论,补集思想,已知集合Ay|ya5或ya，By|2 y4，若AB，求实数a的取值范围 分析 AB的对立面为AB，故可先求出AB时a的取值范围，再用补集思想求AB时a的取值范围,即实数a的取值范围为Ma|1a2 而AB时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为a|a2 点评 已知全集U，要求子集A，若直接求A较困难或较麻烦时，则可考虑先求出A的补集UA，再利用AU(UA)求出集合A这就是数学中的补集思想,
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