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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教版 必修2,圆的方程,第四章,4.2 直线、圆的位置关系,第四章,4.2.3 直线与圆的方程的应用,解决实际问题的基本步骤如下： (1)阅读理解，认真审题 做题时，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握新信息在此基础上，分析出已知什么，求什么，都涉及哪些知识，确定变量之间的关系审题时要抓住题目中关键的量，实现应用问题向数学问题的转化,知识衔接,(2)引进数学符号，建立数学模型 根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即建立数学模型如果题目已经告知曲线是圆，则需要建立适当的直角坐标系，设出圆的方程，为求解方程或计算作准备 (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果 (4)翻译成具体问题,直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的步骤： 第一步：建立适当的_，用_和_表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为_问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“_”成几何结论 这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为“一建二算三译”,平面直角坐标系,坐标,方程,代数,翻译,自主预习,1某洞口的横截面是半径为5 cm的半圆，则该半圆的方程是( ) Ax2y225 Bx2y225(y0) C(x5)2y225(y0) D随着建立的直角坐标系的变化而变化 答案 D,预习自测,2证明在圆中直径所对的圆周角为直角,如图所示，有一块五边形的铁皮ABCDE，|CD|100 cm，|BC|80 cm，|AB|70 cm，|DE|60 cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边分别落在BC和CD上问怎样截才能使矩形的面积最大？,直线方程的应用,互动探究,规律总结：(1)借助坐标系、点的坐标、直线的方程等解析工具解决实际问题,某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面(不必变方位)进行开发问如何设计才能使开发面积最大？并求出最大面积 分析 建立坐标系求解,点评 这是一道用地规划问题，具有很强的应用价值与现实意义，将问题化归为在线段AB上找一点，使长方形面积最大的数学问题，这里求线段AB所在直线方程、设点P坐标是解题的切入点,如图所示，一座拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？,圆的方程的应用,解析 以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示 设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B， 则由已知得A(6，2) 设圆的半径为r，,规律总结：(1)应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，可取得简便、精确的效果，因此，解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用 (2)解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体味,如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图该圆拱跨度AB20 m，拱高OP4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱，求支柱CD的长度(精确到0.01 m) 分析 先求出圆的标准方程，再求C点的纵坐标即可,如下图所示，在半径为1的圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F.求证：EF平分CD 探究 建立平面直角坐标系，由圆O和圆C的方程得公共弦EF的方程，转化为证明CD的中点在直线EF上即可,用坐标法证明几何问题,规律总结：坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论其中建立适当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则： 若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴； 充分利用图形的对称性； 让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称； 关键点的坐标易于求得,已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于该边所对边长的一半 分析 如图所示，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，本题关键是求出圆心O的坐标，过O作AC的垂线，垂足为M，M是AC的中点，垂足M的横坐标与O的横坐标一致，同理可求O的纵坐标,代数式的几何意义与数形结合法,探索延拓,若x、y满足(x2)2y23，那么xy的取值范围是_；(x2)2(y2)2的取值范围是_.,错解 选A或选C,易错点 利用数形结合的解题误区,误区警示,答案 A 解析 两边平方整理得：(|x|1)2(y1)21，由|x|10得x1或x1，所以(x1)2(y1)21(x1)或(x1)2(y1)21(x1)，所以为两个半圆，故选A,1一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是( ) Ax2y225 Bx2y225(y0) C(x5)2y225(y0) D随建立直角坐标系的变化而变化 答案 D 解析 在不同坐标系下，方程也不同,答案 D,3已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为( ) A4 B3 C2 D1 答案 C,分析 由于隧道的截面是半圆，故可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标法解决,归纳总结 这是一个实际问题，解决这一问题的关键是把它转化为数学问题，通过建立平面直角坐标系求半圆方程，进而使问题得以解决,5如图，直角ABC的斜边长为定值4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值,
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