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3 二倍角的三角函数(一),二倍角公式及其变形,sincos+cossin,2sincos,coscos-sinsin,2cos2-1,1-2sin2,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)sin 2=2sin .( ) (2)cos 2=sin2-cos2.( ) (3)tan 2= 对任意的都成立.( ) (4)sin2= ( ),【解析】(1)错误.因为sin 2=2sin cos . (2)错误.因为cos 2=cos2-sin2. (3)错误.因为 (kZ)时公式不成立. (4)错误.因为sin2= 答案：(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)sin 15cos 15=_. (2)cos215-sin215=_. (3) =_.,【解析】(1)sin 15cos 15= sin 30= 答案： (2)cos215-sin215=cos 30= 答案： (3)原式= tan 45= . 答案：,【要点探究】 知识点 正弦、余弦、正切的二倍角公式 1.对二倍角中“倍”的说明 (1)“倍”具有广泛的涵义.例如，2是的二倍角，同样 地，4是2的二倍角，2n是2n-1的二倍角，是 的二 倍角，3是 的二倍角等. (2)在具体应用中可先对角进行观察，寻求待求的角与已知角 之间的差异，再决定用哪种“倍”的关系.,2.二倍角的应用 (1)直接应用公式进行升幂、配方、开方、求值化简证明等运算.,(2)变形应用公式主要体现在化异角为同角、化异次为同次、 逆用公式等方面，其中二倍角的余弦公式最灵活.如：1+ cos 2=2cos2；cos2= 1-cos 2= 2sin2；sin2= 不仅仅是逆用，更重要的是体 现了幂指数的变化，其中是从一次幂向二次幂转换，因此 把它们称为升幂公式，则是从二次幂向一次幂转换，因此 把它们称为降幂公式.,【微思考】 (1)公式S2，C2，T2的适用范围是否相同？ 提示：公式S2，C2中角可以是任意角，但公式T2只有当 k及 (kZ)时才成立，否则不成立 (2)逆用正弦、余弦、正切的二倍角公式的关键是什么？ 提示：关键是将待化简的三角函数式化到公式右边所满足的结 构，再逆用公式,【即时练】 求值：(1) =_. (2)12sin2750=_. (3)tan 150+ =_.,【解析】(1)原式= = 答案： (2)原式cos(2750)cos 1 500cos(4360 60)cos 60 . 答案：,(3)原式= = = 答案：,【题型示范】 类型一 用二倍角公式解决给值求值问题 【典例1】 (1)(2013新课标全国)已知sin 2= 则 =( ),(2)(2013四川高考)设sin 2=-sin ， 则 tan 2的值是_ (3)已知 0x ，求 的值,【解题探究】1.题(1)中如何将 化简? 2.题(2)中求tan 2的关键是什么? 3.题(3)中cos 2x， 如何用 -x的三角函数值表示?,【探究提示】1.利用降幂公式得 2.由已知求得tan 后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=,【自主解答】(1)选A.因为 所以 选A. (2)根据题意sin 2=-sin ，可得2sin cos = sin ，可得cos = ，tan = ，所以tan 2 = 答案：,(3)因为x 所以 又因为 所以 又cos 2x 所以原式,【延伸探究】把第(3)题的条件改为 x 求sin 4x. 【解析】因为 所以cos 2x .,因为x 所以2x(，2)， 所以sin 2x 所以sin 4x2sin 2xcos 2x,【方法技巧】 1.用二倍角公式求解给值求值问题的常用策略 (1)当已知和待求式含有三角函数的平方式时，需先降幂，再求解. (2)先探寻到已知和待求式中角的倍、单关系，再正用或逆用二倍角公式求解. (3)当式子中涉及的角较多时，要探寻其间的关系，化异角为同角.,2. x与2x的关系 当遇到 x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式沟通 条件与结论,如cos 2x 类似这样的变换还有：,【变式训练】(2014江苏高考)已知 (1)求 的值. (2)求 的值.,【解析】(1)由题意cos = 所以 = (2)sin 2=2sin cos = cos 2=2cos21= 所以 =,【补偿训练】已知 (1)求tan 的值. (2)求 的值.,【解析】(1) = 解得tan = (2) =,类型二 利用二倍角公式化简与证明 【典例2】 (1)设k+ ，kZ，求证： (2)(2014西安高一检测)已知函数f(x)=2asin xcos x-2bsin2x+b(a,b为常数，且a0)的图像过点(0,3)，且函数f(x)的最大值为2.求函数y=f(x)的解析式，并写出其单调递增区间.,【解题探究】 1.证明三角恒等式应遵循什么样的原则? 2.题(2)中如何将f(x)化为一个角的三角函数式. 【探究提示】 1.应本着“异名化同名，复角化单角”的原则. 2.先逆用二倍角及降幂公式，再用辅助角公式.,【解析】(1)左边= = = = =右边. 所以,(2)f(x)=asin 2x+bcos 2x, 由f(0)= ,得b= . 又由 =2及a0,解得a=-1. 所以函数y=f(x)的解析式是f(x)=-sin 2x+ cos 2x = 所以f(x)的单调递增区间是 (kZ).,【方法技巧】 1.化简三角函数式的策略 一般地，三角函数式的化简要从减少角的种类，减少函数的种类，改变函数式的运算结构入手，通过切化弦、弦化切、异角化同角、高次降幂、分解因式、逆用公式等手段，使函数式的结构化为最简形式.,2.证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤是：先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”、变换式子结构“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.,【变式训练】求证： 【证明】要证 只需证,上式：左边= = =右边. 所以原等式成立.,【补偿训练】化简：sin3sin 3+cos3cos 3. 【解题指南】先利用变形公式sin2= 和cos2= 降幂，再整合化简，注意公式的逆用和变形用.,【解析】原式=sin2sin sin 3+cos2cos cos 3 = sin sin 3+ cos cos 3 = (cos cos 3+sin sin 3)+ cos 2 (cos 3cos -sin 3sin ) = cos(-3)+ cos 2cos(3+) = cos 2+ cos 2cos 4 = cos 2(1+cos 4) = cos 22cos22 =cos32.,拓展类型 利用对偶式化简求值 【备选例题】 1.计算：cos 72cos 36=_. 2.计算：sin 10sin 30sin 50sin 70=_.,【解析】1.方法一：cos 72cos 36 = = = 方法二：令x=cos 72cos 36，y=sin 72sin 36， 则xy=sin 72cos 72sin 36cos 36 = sin 144sin 72, 故 答案：,2.因为sin 10cos 80,sin 50cos 40, sin 70cos 20， 所以原式 cos 80cos 40cos 20,答案：,【方法技巧】 1.对偶式的概念 在三角学上，如果把某个三角式中的角的位置转化为同角互余的弦值，那么得到的式子叫原式的对偶式.这两个式子互为对偶式. 2.对偶式的应用 在化简求值或证明一些三角问题时，如果能灵活地运用对偶的数学思想，合理地构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的计算，则可以使问题得到巧妙解决.,【易错误区】利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视角的范 围致误 【典例】(2014榆林高一检测)已知sin(2-)= sin = 则sin =_.,【解析】因为 所以22,0- , 所以2- . 由 得22- ， 所以cos(2-)= 因为- 0， 由sin = 得cos =,所以cos 2=cos (2-)+ =cos(2-)cos -sin(2-)sin = 由cos 21-2sin2,得sin2 又 ，所以sin = 答案：,【常见误区】,【防范措施】 1.审题问题 已知条件角度的认识不到位，不能够结合三角函数值的符号， 将已知角的范围进一步缩小，在本例中求得sin(2-)= 0,可以将2-的角度进行再缩小，得22- 就可以轻松求解其余弦.,2.技巧问题 熟练将所求角与已知角联系，建立关系式是解题的关键.本例 在求解过程中要求cos 2，所以需要构造角度，即cos 2= cos (2-)+，这需要结合已知条件进行分析求解.,【类题试解】sin +cos = 0，则sin 2= _，cos 2=_. 【解析】sin +cos = ,0，则 又sin +cos = 两边平方得1+sin 2= , sin 2= 因为2 所以cos 2= 答案：,
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