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高中数学 必修3,3. 3 几何概型（2）,几何概型的概念,对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域D内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域d 中的点 ,这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等；用这样的方法处理随机试验，称为几何概型.,1.古典概型与几何概型的对比.,不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.,2.几何概型的概率公式.,相同：两者基本事件的发生都是等可能的；,复习 与长度有关的几何概型： 有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米 的概率有多大？从每一个位置剪断都是一个基本事件,基本 事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.,思维启迪,解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A,从木棍的两端各度量 出3米,这样中间就有10334(米).在中间的4米长的木棍处剪都 能满足条件,所以,探究提高,从该题可以看出,我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样. 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.,平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚 半径为1 cm的硬币任意平抛在 这个平面上,则硬币不与任何一条 平行线相碰的概率是 ( ) A. B. C. D.,B,解析 如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故所求概率为,例1.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?,例题讲解,与面积(或体积)有关的几何概型,变式训练 1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上, 掷一枚半径为1 cm的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压 在正方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内,须再交5角钱可玩一次； 若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？,思维启迪,应用几何概型的概率计算公式P(A) 即可解决此类问题.,(2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的 圆内, 因正方形有四个顶点,所以概率为,解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形 围成的区域内,所以概率为,探究提高,几何概型的概率计算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.,知能迁移2 在边长为2的正ABC内任取一点P, 则使点P到三个 顶点的距离至少有一个小于1的概率是 解析 以A，B，C为圆心,以1为半 径作圆,与ABC交出三个扇形, 当P落在其内时符合要求.,例2 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上 任取一点M，求AM小于AC的概率,解： 在AB上截取ACAC，,故AMAC的概率等于AMAC的概率,记事件A为“AM小于AC”，,答：AMAC的概率等于,与角度有关的几何概型,思考：在等腰直角三角形ABC中， 过点C在C内作射线CM，交AB于M， 求AM小于AC的概率,此时的测度是作射线是均匀的，就成 了角的比较了 P（A）,变式训练 在RtABC中,A30,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M, 求使|AM|AC|的概率. 思维启迪 如图所示,因为过 一点作射线是均匀的,因而应把在 ACB内作射线CM看做是等可能 的,基本事件是射线CM落在 ACB 内任一处,使 | AM | AC |的概率只 与BCC的大小有关,这符合几 何概型的条件.,可化为几何概型的概率问题 例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率. 思维启迪 在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达 约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用 0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵 轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、 乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会 面的时间由|x-y|15所对应的图中阴影部分表示.,以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达 约定地点的时间,则两人能够会面的充要 条件是|x-y|15. 在如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的 所有可能结果是边长为60的正方形区域, 而事件A“两人能够会面”的可能结果 由图中的阴影部分表示. 由几何概型的概率公式得： 所以,两人能会面的概率是,探究提高 (1)甲、乙两人都是在67时内的任意时 刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用 x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中 正方形内的任一点. (2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出 来,分别计算面积即可. (3)本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表 示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问 题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积 型几何概型的问题.,变式训练：甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊 两艘轮船 的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是 等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中 的任何一条船不需要等待码头空出的概率； (2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为 2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出 的概率.,解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y, 则0x24,0y24且yx4或yx4. 作出区域 设“两船无需等待码头空出”为事件A,(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的 停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出, 则满足x-y2或y-x4, 设在上述条件时“两船不需等待码头空出” 为事件B,画出区域,1适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解； 2把基本事件转化为与之对应的区域D； 3把随机事件A转化为与之对应的区域d； 4利用几何概型概率公式计算,总结：几何概型问题的概率的求解方法,
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