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5 从力做的功到向量的数量积,1.向量的夹角与投影 (1)夹角 定义：已知两个非零向量a和b，作 =a, =b,则_叫作向量a与b的夹角； 范围：_； 大小与向量共线、垂直的关系：=,AOB=,0180,0a与b_， 180a与b_， 90a_b.,同向,反向,(2)投影 定义：如图所示： =a， =b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则OB1=_. _叫做向量b在a 方向上的投影数量(简称投影).,|b|cos ,|b|cos ,大小与夹角的关系：,|b|,正值,0,负值,-|b|,2.向量的数量积 (1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为，我们把_叫作a与b的数量积(或内积)，记作_，即 ab= _. (2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上投影 _的乘积，或b的长度_与a在b方向上投影 _的乘积. (3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移 s的数量积_.,|a|b|cos ,ab,|a|b|cos ,|b|cos ,|b|,|a|cos ,Fs,(4)性质： 若e是单位向量，则ea=ae= _； ab_； |a|= cos =_(|a|b|0)； |ab|_|a|b|.,|a|cos ,ab=0,(5)运算律： 交换律：ab=_. 结合律：(a)b= _= _. 分配律：a(b+c)=_.,ba,(ab),a(b),ab+ac,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同.( ) (2)向量的投影与向量的数量积和向量的线性运算的结果都是一个向量.( ) (3)设非零向量a与b的夹角为，cos 0ab0.( ) (4)若ab=bc,则一定有a=c.( ),【解析】(1)错误，两个向量夹角的范围是0，而直线倾斜角的范围是0，). (2)错误,向量的投影与向量的数量积结果是一个数量，而非向量. (3)正确,cos = 故cos 0ab0. (4)错误,向量b与向量a，c可能垂直,向量a，c可能方向相反. 答案：(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若|a|=2，向量a与b的夹角为 则a在b方向上的投影为_. (2)若|a|=1，|b|=4，a与b的夹角为 则ab=_. (3)若|a|=2，|b|=1，ab= 则a与b的夹角为_.,【解析】(1)由投影的定义得a在b方向上的投影为|a|cos =2 =1. 答案：1 (2)由数量积的定义得:ab=|a|b|cos =14 =-2. 答案：-2 (3)设a与b的夹角为，由ab=|a|b|cos ，得cos = 又0，所以= 答案：,【要点探究】 知识点1 向量的数量积 1.写法及与实数乘积的区别 两向量a，b的数量积也称作内积，写成ab，其应与代数中的a，b的乘积ab区分开来，其中“”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号.在向量运算中既不能省略，也不能用“”代替.,2.运算的结果 (1)向量线性运算的结果是一个向量，但两个向量的数量积是一个数量. (2)由于0180，所以ab可以为正数、负数和零，且当090时，ab0；当=90时，ab=0；当90180时，ab0.,(3)若a为零向量，则|a|=0，从而ab=0，故零向量与任一向量的数量积为0. (4)aa=a2=|a|2. (5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值.,【微思考】 (1)影响数量积大小的因素有哪些？ 提示：影响数量积大小的因素有两个，向量的模及其夹角大小. (2)若ab=0，是否一定有ab?请说明理由. 提示：一定,因a,b中至少有一个为零向量时，我们规定了零向量与任一向量垂直，因此一定正确.,【即时练】 已知|a|=2,|b|=4，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为150时，分别求a与b的数量积. 【解析】(1)当ab时，若a与b同向，即=0，则ab=|a|b|cos =8；若a与b反向，即=180，ab=|a|b|cos 180=-8. (2)当ab时，=90，则ab=|a|b|cos 90=0. (3)当a与b的夹角为150时，ab=|a|b|cos 150,知识点2 数量积的性质与运算律 1.数量积五条性质的应用 性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义； 性质(2)可以解决有关垂直的问题； 性质(3)可以求向量的长度； 性质(4)可以求两向量的夹角; 性质(5)可以解决有关不等式的问题，当且仅当ab时，等号成立.,2.数量积运算遵循的运算律及常用公式 (1)遵循的运算律：数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc).这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.,(2)常用公式及注意点： (a+b)(a-b)=|a|2-|b|2; (a+b)2=|a|2+2ab+|b|2; (a-b)2=|a|2-2ab+|b|2. 注意：|a|2=aa,|b|2=bb.,【知识拓展】向量数量积与实数乘积相关结论比较,【微思考】 (1)若ab0，a与b的夹角是锐角吗？若ab0，a与b的夹角是钝角吗？反过来呢？ 提示：不一定，可能为0.不一定，可能为180.反过来正确.,(2)若|ab|=|a|b|，是否一定有ab？请说明理由. 提示：一定.因为ab=|a|b|cos ， 所以|ab|=|a|b|cos |. 由已知得,|a|b|cos |=|a|b|, 即|cos |=1，cos =1, 又0,所以=0或，故ab.,【即时练】 1.(2014西安高一检测)若e1,e2是两个平行的单位向量，则下面结果正确的是( ) A.e1e2=1 B.e1e2=-1 C.|e1e2|=1 D.e1e21,2.设a,b,c是任意的非零向量，且两两不共线，给出下列说法： (ab)c-(ca)b=0; |a|-|b|a-b|; (bc)a-(ca)b与c不可能垂直； (3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的有( ) A. B. C. D.,【解析】1.选C.由于e1,e2是两个平行的单位向量，设其夹角为，则|cos |=1，所以|e1e2|=|cos |=1.,2.选D.(ab)c是与向量c平行的向量，(ca)b是与向量b平行 的向量，因此(ab)c与(ca)b不一定相等，故不正确； 因为a,b,c是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形 两边之差小于第三边可知正确； 由于(bc)a-(ca)bc=(bc)(ac)-(ca)(bc)= 0，因此(bc)a-(ca)b与c垂直，不正确； (3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2=9|a|2-4|b|2. 正确，故选D.,【题型示范】 类型一 平面向量数量积的运算 【典例1】 (1)(2014咸阳高一检测)已知平面上三点A，B，C满足 =2， 则 的值为_. (2)(2014合肥高一检测)已知向量a与b的夹角是120,且|a| =2,|b|=3，求：(a-2b)2;(2a-b)(a+3b).,【解题探究】1.题(1)中计算 的关键是 什么？ 2.解答题(2)的突破口是什么？ 【探究提示】1.判断ABC的形状，确定出相关向量的夹角. 2.运用数量积的性质及运算律和相关公式，将待求式转化为a 与b的数量积运算.,【自主解答】(1)由已知， 所以ABC为直角三角形,且ACB=90,如图. 从而sinABC= sinBAC= 所以ABC=60,BAC=30. 所以 与 的夹角为120, 与 的夹角为90, 与 的夹角为150.,故 = 答案：-4,(2)因为ab=|a|b|cos 120=23 =-3, 所以(a-2b)2=a2-2a(2b)+(2b)2 =|a|2-4ab+4|b|2 =22-4(-3)+432=52. (2a-b)(a+3b) =2a2+6ab-ab-3b2 =2|a|2+5ab-3|b|2 =222+5(-3)-332=-34.,【延伸探究】在题(2)的条件下，若(3a+5b)(ma-b)=-45，则m的值如何？ 【解析】(3a+5b)(ma-b) =3ma2+(5m-3)ab-5b2 =3m22+(5m-3)23 -532 =-3m-36=-45， 解得m=3.,【方法技巧】 1.求平面向量数量积的流程,2.形如(ma+nb)(ka+lb)的运算技巧及注意点 (1)技巧：类似于实数多项式的运算，将运算转化为向量a,b的数量积运算. (2)注意点:a与b的数量积不可书写或认为是ab, a2=|a|2的应用.,【变式训练】1.已知正ABC的边长为2，设 =a， =b， =c，则ab+bc+ca=_. 【解析】a与b，b与c，a与c的夹角为120， 所以原式=|a|b|cos 120+|b|c|cos 120+ |a|c|cos 120=22 3=-6. 答案：-6 【误区警示】本题求解时易将向量a,b，c夹角的大小定错而致误.,2.(2013新课标全国卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b，若bc=0，则t=_. 【解析】由c=ta+(1-t)b得, bc=tab+(1-t)b2=0, 解得t|a|b|cos 60+(1-t)|b|2=0, 化简得 t+(1-t)=0，所以t=2. 答案：2,【补偿训练】1.已知ABC为等边三角形，AB=2.设点P,Q满足 R.若 则=_. 2.已知|a|= |b|=3，|c|= 且a+b+c=0，求ab+bc +ca,【解析】(1)因为 所以 =2(1+-2)-4+4(-1) =2(-2+-1).,又因为 所以42-4+1=0，所以= 答案：,(2)因为a+b+c=0， 所以(a+b+c)2=0， 即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0. 又因为|a|= |b|=3,|c|= 所以a2=3,b2=9,c2=12， 所以ab+bc+ca=-12.,类型二 向量的模的计算问题 【典例2】 (1)(2013浙江高考)设e1,e2为单位向量，非零向量b=xe1+ ye2，x,yR.若e1,e2的夹角为 则 的最大值等于_. (2)已知向量a,b的夹角为45,且|a|=1,|2a-b|= 则|b|= _. (3)已知a，b满足|a+b|= |a-b|,|a|=|b|=1，求|3a-2b|.,【解题探究】1.题(1)中求 的最大值的突破口是什么？ 2.题(2)中如何将|2a-b|= 用a与b的模及数量积表示？ 3.题(3)中向量的数量积与向量模如何转化？ 【探究提示】1.先将求 的最大值转化为求 的最大值， 进而利用|b|2=b2转化为求关于x,y的函数的最值. 2.利用|2a-b|2=(2a-b)2. 3.|a|2=a2.,【自主解答】(1) = 当x=0时， =0; 当x0时， 令 则 所以 的最大值为2. 答案：2,(2)|2a-b|= (2a-b)2=104+|b|2-4|b|cos 45 =10|b|= 答案：,(3)由|a+b|= |a-b|得,|a+b|2=3|a-b|2, 即(a+b)2=3(a-b)2, 所以a2+2ab+b2=3(a2-2ab+b2), 所以8ab=2a2+2b2=2|a|2+2|b|2=4, 即ab= 所以|3a-2b|= =,【方法技巧】求向量的模的常见思路 求向量的模是向量运算问题中的常见题型，解答这类问题 时，可考虑先求向量的平方，应用向量的运算公式、法则求出 其平方值，然后再利用公式|a|2=a2=aa，将其两边开平方即 可求得该向量的模，即运用公式,【变式训练】(2014江西高考)已知单位向量e1,e2的夹角为, 且cos = 若向量a=3e1-2e2,则|a|=_. 【解题指南】利用 求解. 【解析】aa=(3e1-2e2)2=912e1e2+4=912 +4=9，故 |a|=3. 答案：3,【补偿训练】已知同一平面上的向量a,b，c两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2,|c|=3，求|a+b+c|. 【解析】(1)当向量a,b,c共线且同向时，所成的角均为0, 所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6.,(2)当向量a,b,c不共线时，易知a,b,c皆为非零向量. 设a,b,c所成的角均为，则3=360, 即=120,所以ab=|a|b|cos 120=-1. 同理bc=-3,ca= 由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=3, 故|a+b+c|= 综上所述，|a+b+c|=6或,类型三 夹角和垂直问题 【典例3】 (1)(2014宝鸡高一检测)已知m,n是两个单位向量，其夹角为 60，设a=2m+n,b=2n-3m，则a与b的夹角为_. (2)(2013安徽高考)若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|， 则a与b夹角的余弦值为_. (3)(2013山东高考)已知向量 与 的夹角为120，且 若 且 则实数的值为 _.,【解题探究】1.两个非零向量的夹角公式是什么？ 2.解答题(2)的关键是什么？ 3.解答题(3)的突破口是什么？ 【探究提示】1.cos = 2.由已知得到ab与|b|(或|a|)的关系. 3.将 用 与 表示,并通过垂直条件列关于的方程求解.,【自主解答】(1)由已知|m|=|n|=1，mn=|m|n|cos 60 = 所以ab=(2m+n)(2n-3m)=mn-6m2+2n2= -6+2= |a|2=a2=(2m+n)2=4m2+4mn+n2=7, |b|2=b2=(2n-3m)2=4n2-12nm+9m2=7. 所以|a|=|b|= 由ab=|a|b|cos 得， 所以cos =,又0,， 所以=120. 故a与b的夹角为120. 答案：120,(2)由|a|=|a+2b|，等式两边平方得a2+4ab+4b2=a2ab =-b2，所以cosa,b= 答案：,(3)向量 与 的夹角为120，且 所以 由 得， 即 所以 即493(1)=0，解得= 答案：,【方法技巧】 1.求向量夹角的解题流程及注意事项 (1)解题流程：,(2)注意事项 在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值.,2.两向量垂直的确定与应用 (1)确定：通常利用两向量垂直的充要条件，即计算ab是否为0. (2)应用：若ab，则ab=0可求其中参数的值.,【变式训练】(2014南昌高一检测)已知a，b是两个非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直.试求a与b的夹角大小. 【解析】因为a+3b与7a-5b垂直， 所以(a+3b)(7a-5b)=0, 即7a2+16ab-15b2=0.,又因为a-4b与7a-2b垂直， 所以(a-4b)(7a-2b)=0， 即7a2-30ab+8b2=0. -得46ab=23b2, 即2ab=b2. 代入可得a2=b2,即|a|=|b|. 设a与b的夹角为， 则cos = 又因为0,，所以=,【补偿训练】1.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_. 【解析】因为(a+b)(ka-b), 所以(a+b)(ka-b)=0, 即ka2+(k-1)ab-b2=0，(*),又因为a,b为两个不共线的单位向量, 所以(*)式可化为1-k=(k-1)ab, 若k-10，则ab=-1，这与a,b不共线矛盾; 若k-1=0，则1-k=(k-1)ab恒成立. 综上可知，k=1时符合题意. 答案：1,2.已知|a|=5,|b|=4,|a+b|= 求向量a与b的夹角. 【解析】因为|a|=5,|b|=4,|a+b|= 所以|a|2=25,|b|2=16,|a+b|2=21. 又因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=41+2ab, 所以ab=-10.,设a与b的夹角为, 则cos = 又因为0,所以= 即a与b的夹角是,拓展类型 数量积的综合应用 【备选例题】(1)若a,b,c均为单位向量，且ab=0,(a-c)(b -c)0，则|a+b-c|的最大值为( ) A. -1 B.1 C. D.2 (2)在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，AB=2，AD=3，则 =_.,【解析】(1)选B.由(a-c)(b-c)0，得ab-ac-bc+c2 0，又ab=0，且a,b,c均为单位向量，得-ac-bc-1， |a+b-c|2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2(ab-ac-bc)=3+2(-ac- bc)3-2=1，故|a+b-c|的最大值为1. (2) = 答案：5,【方法技巧】 1.数量积运算与函数、不等式、三角函数等知识综合 先利用向量的数量积运算将问题转化为函数、不等式、三角函数等知识的问题，再用相关知识求解.,2.数量积运算与平面几何的综合 (1)选择基底. (2)把相关的向量用基底表示. (3)借助数量积的定义及其变形判断边与边的关系，如借助向量的模找边长的关系、借助向量的夹角找边与边的关系. (4)由向量运算得出待求.,【易错误区】两向量夹角概念不清和加减及数量积运算律应用 不当致误 【典例】(2014铜陵高一检测)在ABC中，已知A=120， B=C=30，若AB=AC=1，则 =_.,【解析】过A作ADBC，垂足为D， 因为AB=AC，所以BC=2BD=2ABcos B=21 方法一： = = = 所以,方法二： = = = = 答案：,【常见误区】,【防范措施】 1.正确理解向量夹角的概念 在以平面图形为背景的数量积问题中，关键是求向量夹角，此 时要注意让两个向量共起点才能找准向量的夹角.如本例中 与 的夹角是角B的补角而不是角B.,2.巧用数量积的运算律简化运算 数量积运算过程中，逆用和巧用的运算律可以凑出满足向量加 法(减法)三角形法则的形式，从而实现简化运算.如本例中， 经过 的变形后， 可用向 量加法的三角形法则简化为 进而只要计算 即可.,【类题试解】(2013天津高考)在平行四边形ABCD中,AD=1, BAD=60,E为CD的中点.若 则AB的长为_.,【解析】因为 所以 = = 所以 解得 答案：,
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