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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 必修1,函 数,第二章,第二章,5 简单的幂函数,第2课时 函数的奇偶性,大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩一些函数的图像也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？,奇函数与偶函数 (1)一般地，图像关于_对称的函数叫作奇函数在奇函数f(x)中，f(x)与f(x)绝对值_，符号_，即f(x)_；反之，满足_的函数yf(x)一定是奇函数 (2)一般地，图像关于_对称的函数叫作偶函数在偶函数f(x)中，f(x)与f(x)的值_，即f(x)_；反之，满足_的函数yf(x)一定是偶函数 (3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有_,原点,相等,相反,f(x),f(x)f(x),y轴,相等,f(x),f(x)f(x),奇偶性,答案 C 解析 f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数,2设函数f(x)x|x|定义在(，)上，则f(x)( ) A既是偶函数，又是减函数 B既是奇函数，又是减函数 C既是偶函数，又是增函数 D既是奇函数，又是增函数 答案 D,4如图给出奇函数yf(x)的局部图像，则f(2)的值是_,5已知偶函数f(x)满足f(x2)xf(x)(xR)，则f(1)_. 答案 0 解析 令x1，则f(12)f(1)， 即f(1)f(1)，又f(x)为偶函数， 所以f(1)f(1)， 所以f(1)f(1)，即f(1)0.,函数奇偶性的判定,规律总结 函数奇偶性的方法判断 (1)定义法,注意：利用定义判断函数奇偶性时，首先应看函数的定义域是否关于原点对称 (2)在选择、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性： 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； 奇函数的和、差仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数,解析 (1)f(x)的定义域为2，不关于原点对称因此，函数f(x)为非奇非偶函数 (2)f(x)的定义域为1,1，且f(x)0，f(1)0， f(1)0. f(1)f(1)，且f(1)f(1) 因此，函数f(x)既是奇函数，又是偶函数,分段函数奇偶性的判定,规律总结 1.判断分段函数的奇偶性，必须分段考虑 2若分段函数是奇函数或偶函数，常用含绝对值符号的函数表达式来表示,解析 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x0时，x0，f(x)(x)22x22(x22)f(x) 当x0时，f(0)0，即x0时，f(x)f(x) 综上所述，xR，有f(x)f(x)，故该函数为奇函数.,函数奇偶性的概念与图像,下面四个结论：偶函数的图像一定与y轴相交；奇函数的图像一定经过原点；偶函数的图像一定关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是y0(xR)其中正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4,规范解答 可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如函数yx0，yx2都是偶函数，但它们的图像不与y轴相交，故错误，正确；奇函数的图像关于原点对称，但不一定过原点，如yx1，故错误；若函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)0，但未必xR，如x(1,1)，只要其定义域关于原点对称即可，故错误所以四个结论中只有正确，故选A. 答案 A,已知函数f(x)(xR)是偶函数，则下列各点中必在函数yf(x)图像上的是( ) A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 答案 A 解析 因为函数f(x)(xR)是偶函数，所以，若点(a，f(a)在函数yf(x)的图像上，由偶函数的图像关于y轴对称可知，点(a，f(a)关于y轴的对称点(a，f(a)必在函数图像上.,函数的奇偶性与单调性的综合应用,设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减少的，若f(m)f(m1)0，求实数m的取值范围,规律总结 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的限制,定义在R上的偶函数f(x)在x0上是增函数，则( ) Af(3)f(4)f() Bf()f(4)f(3) Cf(3)f()f(4) Df(4)f()f(3) 答案 C 解析 f(x)在实数集R上是偶函数， f()f()，f(4)f(4) 而34，且f(x)在(0，)上是增函数， f(3)f()f(4)，即f(3)f()f(4),规律总结 判断函数奇偶性的步骤： (1)求函数定义域，若定义域关于原点对称，执行(2)，否则下结论：函数为非奇非偶函数 (2)判定f(x)与f(x)关系,
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