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第2课时 抛物线方程及性质的应用,类型 一 直线与抛物线的位置关系 【典型例题】 1.过点(0,-1)的直线与抛物线x2=-2y公共点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 2.已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.,【解题探究】1.过定点的直线与抛物线有几个公共点,关键条件是什么? 2.曲线y2=ax在什么情况下表示抛物线? 探究提示: 1.过定点的直线与抛物线有几个公共点,其关键要看定点与抛物线的位置关系. 2.曲线y2=ax中,当a=0时表示x轴,当a0时,表示焦点在x轴上的抛物线.,【解析】1.选D.因为点(0,-1)在抛物线内部,故过该点的直线斜率不存在时,与抛物线有一个公共点,是相交的;斜率存在时,有两个公共点,因此公共点的个数是1个或2个. 2.联立方程组 (1)当a=0时,此方程组恰有一组解 (2)当a0时,消去x得 y2-y-1=0.,若 即a=-1时, 方程变为一元一次方程-y-1=0, 方程组恰有一组解 若 0,即a-1,令=0,得1+ =0, 可解得a=- , 这时直线与曲线相切,只有一个公共点. 综上所述,当a=0,-1,- 时,直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰 有一个公共点.,【互动探究】题2中,若直线与曲线有两个不同的公共点,求a的取值范围. 【解析】由题意可知显然a0. 由 得 y2-y-1=0. 因为直线与曲线有两个不同的公共点. 所以=1+4 0且a+10. 即 0且a-1,解得a0或a- 且a-1. 故a的取值范围是(-,-1)(-1,- )(0,+).,【拓展提升】判断直线与抛物线位置关系的两种方法 (1)几何法. 利用图象,数形结合,判断直线与抛物线的位置关系,但有误差影响判断的结果. (2)代数法. 设直线l的方程为y=kx+m,抛物线的方程为y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式:Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).,相交:有两个交点: 有一个交点:A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交); 相切:有一个公共点,即 相离:没有公共点,即,类型 二 与弦长有关的问题 【典型例题】 1.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,则线段AB的长为 . 2.(2013合肥高二检测)设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点. (1)设l的斜率为2,求|AB|的大小. (2)求证: 是一个定值.,【解题探究】1.题1中的直线已知了哪些条件? 2.求过焦点的弦长时,有几种方法? 探究提示: 1.首先已知斜率为1,其次经过抛物线的焦点. 2.|AB|= |x1-x2|或|AB|= 或|AB|=x1+x2+p等.,【解析】1.方法一:抛物线焦点为(1,0), 直线l的方程为y=x-1. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得x2-6x+1=0. |AB|=x1+x2+p=6+2=8. 方法二:由AB所在直线斜率为1,则其所在直线的倾斜角=45, 故|AB|= 答案:8,2.(1)依题意得F(1,0),直线l的方程为y=2(x-1). 设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y整理得x2-3x+1=0, x1+x2=3,x1x2=1. 方法一:|AB|= |x1-x2| = =5.,方法二:|AB|=|AF|+|BF| =x1+x2+p=3+2=5. (2)设直线l的方程为x=ky+1, 设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去x整理得y2-4ky-4=0, y1+y2=4k,y1y2=-4. =(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3, 是一个定值.,【拓展提升】直线与抛物线相交的弦长问题 直线和抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k. (1)一般的弦长公式:|AB|= |x1-x2|. (2)焦点弦长公式:当直线经过抛物线y2=2px(p0)的焦点时,弦长|AB|=x1+x2+p.,【变式训练】已知焦点在y轴上的抛物线被直线x-2y-1=0截 得弦长是 ,求此抛物线的标准方程. 【解题指南】本题没有明确焦点是在y轴的正半轴还是负半轴,应该两种情况分类求解,为避免讨论,巧设抛物线方程为x2=ay(a0).,【解析】设抛物线方程为x2=ay(a0),与直线方程联立方程 组得 消去y得2x2-ax+a=0,=(-a)2-42a0, 解得a8.设两交点坐标是P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则x1+x2= ,x1x2= 代入弦长公式得: |P1P2|= 解得a=-4或a=12都符合题意,故抛物线方程为x2=-4y或x2=12y.,类型 三 与抛物线有关的中点弦问题 【典型例题】 1.已知抛物线y2=2x,点(4,0)恰是直线被抛物线所截得的弦的中点,则直线方程是 . 2.过点M(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,若弦AB恰被点M所平分,求弦AB所在直线的方程.,【解题探究】1.若直线与抛物线相交,且所得的弦的中点在对称轴上,则此直线应具备什么特点? 2.如何判断以某点为中点的弦一定存在? 探究提示: 1.此直线垂直于抛物线的对称轴. 2.当点在抛物线的内部时,以该点为中点的弦一定存在,否则就不存在.,【解析】1.由于(4,0)恰在抛物线的对称轴上,能符合题意的直线与对称轴垂直,故直线方程是x=4. 答案:x=4 2.方法一:设以M为中点的弦AB的两个端点为A(x1,y1), B(x2,y2),则有x1+x2=24=8,y1+y2=21=2,由题知直线AB的 斜率k存在且不为0,k=,把A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入抛物线的方程得y12=8x1, y22=8x2. -得y22-y12=8(x2-x1), 8= =2k,k=4, 所求弦AB所在的直线方程为y-1=4(x-4), 即4x-y-15=0.,方法二:由题知直线AB的斜率存在,且不为0,设为k,弦AB所 在的直线方程为y=k(x-4)+1,由 消去x得ky2-8y+8-32k=0,y1+y2= . 又知AB的中点就是M,y1+y2=2= ,k=4, 弦AB所在的直线方程为y=4(x-4)+1, 即4x-y-15=0.,【拓展提升】“中点弦”问题解题策略两法,【变式训练】求过点(2,1)的直线与抛物线y2=4x相交所得弦的中点的轨迹方程. 【解题指南】可采用“点差法”,即用点差法表示出直线斜率及斜率公式求得的斜率相等建立方程求解.,【解析】设弦的中点为M(x,y),弦的端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2x,y1+y2=2y. 由 得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), 当x1x2即直线的斜率存在时,设直线的斜率为k, 则,又由斜率公式得k= (x2), 整理得y2-2x-y+4=0(x2). 当x1=x2,即x=2时,此时斜率不存在,弦的中点坐标为(2,0), 也符合式, 故中点的轨迹方程为y2-2x-y+4=0.,抛物线的综合问题 【典型例题】 1.(2013南昌高二检测)设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线, (1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论. (2)当x1=1,x2=-3时,求直线l的方程.,2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B 两点. (1)若 求直线AB的斜率. (2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四 边形OACB面积的最小值.,【解析】1.(1)抛物线y=2x2,即x2= , p= 焦点为F(0, ),直线l的斜率不存在时,显然有x1+x2=0, 直线l的斜率存在时,设为k,截距为b,即直线l:y=kx+b,由已知 得:,所以 即 由于x12+x22=- +b0,b , 即l的斜率存在时,不可能经过焦点F(0, ),所以当且仅当 x1+x2=0时,直线l经过抛物线的焦点F.,(2)当x1=1,x2=-3时,直线l的斜率显然存在,设l:y=kx+b, 则由(1)得: 所以,直线l的方程为y= 即x-4y+41=0.,2.(1)依题意F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1. 将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以y1+y2=4m,y1y2=-4. 因为 所以y1=-2y2 联立和,消去y1,y2, 得m= ,即 所以直线AB的斜率是2 .,(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等. 所以四边形OACB的面积等于2SAOB. 因为2SAOB=2 |OF|y1-y2| = =4 所以m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.,【拓展提升】与抛物线有关的综合问题的类型 (1)抛物线中的最值问题. (2)抛物线中的定值问题. (3)抛物线的性质的综合应用. (4)抛物线在实际问题中的应用. (5)抛物线与其他数学知识的综合问题.,【规范解答】抛物线定义及性质的综合应用,【典例】,【条件分析】,【规范解答】(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|=2p, 圆F的半径|FA|= p, 由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|= p.2分 因为ABD的面积为4 , 所以 |BD|d=4 ,即 2p p=4 , 解得p=-2(舍去),p=2.4分 所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.5分,(2)因为A，B，F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径, ADB=90,由抛物线定义知 . 所以ABD=30,m的斜率为 或- ,7分 当m的斜率为 时,由已知可设n:y= x+b,代入x2=2py 得x2- px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点, 故= p2+8pb=0,解得b=- .9分,因为m的截距b1= , ,所以坐标原点到m,n距离的比 值为3.11分 当m的斜率为- 时,由图形的对称性可知,坐标原点到m,n 距离的比值为3.12分,【失分警示】,【防范措施】 1.巧挖三角形的特征 解题中要特别关注特殊的三角形,如直角三角形,等腰三角形,等边三角形和等腰直角三角形,尤其是三角形中的边与角的关系,对解题会起到非常重要的作用,如本例处RtBFD中,|BD|=2p的挖掘. 2.巧挖条件的内涵 解题中任何条件都是对解题有用的,要善于利用条件,如本例中A,B,F共线,从而ADB=90.,3.善于使用定义 抛物线是灵活的圆锥曲线,特别是它的定义,如本例处,如果没有利用好,就无法得出结论. 4.“距离”与“截距”不同 应注意区别二者,如本例,切不可把距离之比写成截距之比.,【类题试解】已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为 的 直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程. (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若 求的值.,【解析】(1)直线AB的方程是y=2 (x- ), 与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0, 所以:x1+x2= .由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以p=4,所以抛物线方程为y2=8x. (2)由p=4,4x2-5px+p2=0化简得x2-5x+4=0,x1=1,x2=4, y1=-2 ,y2=4 ,从而A(1,-2 ),B(4,4 ),设 =(x3,y3)=(1,-2 ) +(4,4 )=(1+4,-2 +4 ),又因为y32=8x3, 即2 (2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1, 解得=0或=2.综上:=0或=2.,1.设抛物线y2=2x与过焦点F的直线交于A,B两点,则 的值是( ) A. B.- C.3 D.-3 【解析】选B.特例法,F( ,0),取A,B的横坐标x= ,则不妨 令A( ,1),B( ,-1),2.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且 AOB的面积为16,则AOB等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90 【解析】选D.由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称, 设A(-a, ),B(a, ),a0,SAOB= 2a =16,解得 a=4,AOB为等腰直角三角形,AOB=90.,3.过点M(2,5)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有 条. 【解析】把x=2代入y2=8x得y2=16,y=4. 54,点M在抛物线的外部,所以所求的直线有三条,分别为两条切线和一条平行于x轴的直线. 答案:3,4.抛物线y2=12x被直线y=x+1所截得的弦长是 . 【解析】由 得x2-10x+1=0. 设两交点A(x1,y1), B(x2,y2),则x1+x2=10,x1x2=1, |AB|= = 答案:8,5.求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程. 【解析】(1)若直线斜率不存在,则过P(0,1)的直线方程为x=0. 直线x=0与抛物线只有一个公共点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过点P的直线方程为y=kx+1. 由方程组 消元得:k2x2+2(k-1)x+1=0,当k=0时,得 即直线y=1与抛物线只有一个公共点. 当k0时,若直线与抛物线只有一个公共点, 则=4(k-1)2-4k2=0. k= ,故直线方程为:y= x+1. 综上所述:所求直线方程为x=0或y=1或y= x+1.,
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