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2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质,抛物线的简单几何性质,x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,x,y,O(0,0),1,判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)抛物线的图象关于点(0,0)对称.( ) (2)抛物线没有渐近线.( ) (3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.( ),提示:(1)错误.抛物线没有对称中心,它的图象不关于点(0,0)对称,因为y2=2px中,同时把x,y换成-x,-y,方程发生了变化. (2)正确.渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质,抛物线没有渐近线. (3)错误.把x= 代入y2=2px(p0)得y=p,所以过焦点且垂 直于对称轴的弦长是2p. 答案:(1) (2) (3),【知识点拨】 1.在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较,2.参数p(p0)对抛物线开口大小的影响 因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p,所以p越大,开口越大. 3.抛物线的图象具有的特征 抛物线是轴对称图形,其焦点F和准线与对称轴的交点关于原点O对称,即若准线与对称轴的交点为M,则O为MF的中点.,4.点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的位置关系 (1)P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p0)内部y020)上y02=2px0. (3)P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p0)外部y022px0.,类型 一 焦半径和焦点弦问题 【典型例题】 1.(2013鹤岗高二检测)抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 2.(2013大理高二检测)若抛物线y2=-2px(p0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.,【解题探究】1.抛物线y2=8x的焦点坐标是什么?准线方程呢? 2.抛物线上的点具有什么性质? 探究提示: 1.焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2. 2.抛物线上的点具有两点性质:点的坐标适合方程;点满足定义条件,即点P到焦点的距离等于到准线的距离.,【解析】1.选B.抛物线y2=8x的准线是x=-2,由条件知P到y轴距离为4, 点P的横坐标xP=4.根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.,2.由抛物线定义知焦点坐标为F(- ,0),准线方程为x= , 由题意设M到准线的距离为|MN|, 则|MN|=|MF|=10, 即 -(-9)=10, p=2,故抛物线方程为y2=-4x, 将M(-9,y)代入y2=-4x,解得y=6, M(-9,6)或M(-9,-6).,【拓展提升】 1.抛物线的焦半径 (1)抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段.,(2)抛物线的焦半径公式:,2.过抛物线焦点的弦长 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则:,【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程. 【解题指南】联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长,解方程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程.,【解析】若抛物线开口向右,如图. 设抛物线的方程为y2=2px(p0), 则直线方程为y=-x+ p. 设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ , 即x1+x2+p=8. ,又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点, 由 消去y,得x2-3px+ =0, x1+x2=3p. 将其代入,得p=2. 所求抛物线的方程为y2=4x. 当抛物线的开口向左时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x. 综上,抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x.,类型 二 抛物线性质的应用 【典型例题】 1.(2013唐山高二检测)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是( ) A.( ,1) B.(0,0) C.(1,2) D.(1,4) 2.已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.,【解题探究】1.题1中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的解题思路一般有哪些? 2.以原点为一个顶点的三角形的“四心”在抛物线的对称轴上,另两个顶点的位置关系如何? 探究提示: 1.一般有三种方法:(1)构造函数法.(2)数形结合法.(3)转化法. 2.根据抛物线的对称性,另两个顶点必定关于对称轴对称.,【解析】1.选A.方法一:设抛物线上点的坐标为(x,4x2), 其中xR,由点到直线的距离公式得 当x= 时,d最小.这时点的坐标为( ,1).,方法二:设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y=4x+m, 由 得4x2-4x-m=0. 再由=16-44(-m)=0得m=-1. 这时切点为( ,1),切点( ,1)到y=4x-5的距离最小.,2.如图所示.设A(x0,y0), 由题意可知B(x0,-y0), 又F( ,0)是AOB的垂心, 则AFOB,kAFkOB=-1, 即 y02=x0(x0- ), 又y02=2px0,x0=2p+ = . 因此直线AB的方程为x= .,【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根据抛物线的对称性,因为F为OAB的重心,所以A,B 两点关于x轴对称.又根据重心的性质, |OF|= , AB的方程应为,【拓展提升】抛物线的主要性质及应用方向,类型 三 抛物线中的证明问题 【典型例题】 1.证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. 2.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. 求证:(1)x1x2为定值. (2) 为定值.,【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判断圆心到直线的距离与半径的大小. 2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.,【证明】1.如图,作AA1l于A1,BB1l于B1, M为AB的中点,作MM1l于M1,则由抛物线的 定义可知|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中, |MM1|= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.,2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F( ,0),当AB不垂直于x轴时, 设直线AB的方程为y=k(x- )(k0). 由 消去y, 得k2x2-p(k2+2)x+ =0. 由根与系数的关系得x1x2= (定值). 当ABx轴时,x1=x2= ,x1x2= 也成立.,(2)由抛物线的定义知,|FA|=x1+ ,|FB|=x2+ . 又由(1)得x1x2= , 所以 = = (定值).,【拓展提升】解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点,【变式训练】如图,M是抛物线y2=x上的一点, 动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点, 且|MA|=|MB|.若M为定点. 证明:直线EF的斜率为定值.,【证明】设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k0), 则直线MF的斜率为-k, 直线ME的方程为y-y0=k(x-y02). 由 消去x,得 ky2-y+y0(1-ky0)=0. 解得,同理可得 =- (定值). 直线EF的斜率为定值.,【易错误区】抛物线最值问题中忽视范围致误 【典例】(2013安阳高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是( ) A.a0 B.0a1 C.a1 D.a0,【解析】选C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则 |PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2 =y2-(2a-2)y+a2=y-(a-1)2+(2a-1). y0,+) ,根据题意知, (1)当a-10,即a1,y=0时, dmin2=a2.这时dmin=|a|. (2)当a-10,即a1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意. 综上可知a1.,【误区警示】,【防范措施】 1.不要忽视抛物线中范围 抛物线中的变量是有范围的,解题中若忽视了这一点,会使讨论起来更加复杂,或解题中妄加猜测,如本例中y的范围为0,+). 2.分类讨论思想的应用 求最值时,若对称轴与变量范围不确定时,需分类讨论,如本例中,因y0,故分a-10或a-10两种情况讨论.,【类题试解】设点A的坐标为(a,0)(aR),则曲线y2=2x上的点到A点的距离的最小值为 . 【解析】设曲线y2=2x上的点到A点的距离为d,抛物线上任一点的坐标为(x,y),则d2=(x-a)2+y2=x2-(2a-2)x+a2 =x-(a-1)2+(2a-1). 因为x0,+),所以当a1时,dmin2=2a-1,dmin= ; 当a1时,dmin2=a2,dmin=|a|. 答案: 或|a|,1.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( ) A. B. C. D.3 【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线 4x+3y-8=0的距离为 当m= 时,取得最小值 为 .,2.方程(3-m)y2=(m-1)x表示抛物线,其中m不能为( ) A.1 B.3 C.1或3 D.1且3 【解析】选D.由条件知 ,解得m3且m1,故选D.,3.抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2 )在此抛物线上,M为 线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为( ) A.1 B. C.2 D. 【解析】选D.点P(2,2 )在抛物线y2=mx上,所以m=4, 抛物线的准线为x=-1. 抛物线y2=mx的焦点为F(1,0),M为线段PF的中点, M的坐标为( ), M到抛物线的准线x=-1的距离 .,4.抛物线y2=8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 . 【解析】根据定义知,抛物线上的点P到顶点的距离和到焦点的距离相等,P在OF的中垂线上,F(2,0), 点P的横坐标为1. 把x=1代入y2=8x得y=2 . 故P(1,2 ). 答案:(1,-2 )和(1,2 ),5.抛物线y2=2x上点P(1,- )到其焦点的距离为 . 【解析】焦点为F( ,0), d= 故P(1,- )到抛物线焦点的距离为 . 答案:,6.已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.,【解析】由题意,抛物线方程为y2=2px(p0), 焦点F 直线l:x= , A,B两点坐标为 |AB|=2|p|. OAB的面积为4, 2|p|=4,p=2 抛物线方程为y2=4 x.,
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