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优化结构设计 W. 摘要。数学技术被应用在典型的优化结构设计问题这一领域。介绍一个关于一个杆的设计为了描述最大化绕度和显示怎样适当的离散化可能导致一个非线性的问题，在这种情况下的复杂的程序。最优布局已经被讨论了一段时间。一种新的建立最优标准的方法已经说明了被设计一个静不定梁或一个变截面的绕度在一个单一的集中压力下。其他的应用这个方法被简单的讨论，并且用一个多功能的设计的简单的例子来结束这份文件。 1 。导言 结构最优化的最普通的问题或许可以表述如下：从所有的满足某些限制的结构设计，选择其 中一个最低成本的。注意这个声明并不定义一个唯一的设计 ;可能同时有几个最优化的设计有相同的成本。 典型的设计将考虑满足变形或受力的最大约束，或者最小约束的承载能力，屈服载荷，或固有频率。单一的和多用途的结构都要被考虑，即是受单一因素或多重因素的约束。 设计声明中的花费也许会参照到制造成本或总生产成本和生产中结构的寿命。 在航天结构中，燃油成本需要执行最大的重量但最小的质量是他们设计的唯一目标，这个观点将要使用在下面文章。 在这个文献的第一部分，优化设计的典型问题将用已经应用这个方面的数学技术来说明第二 部分将要关注有广泛应用的有很大前途的最近发展的技术 这整个文章，它强调具有最优整体结构是必须被仔细的定义没有意义的方案是要避免的。 事实上还要强调指出某些直观的最优准则对工程师来说不一定提供真正的最优解。为了更清晰的介绍设计原则，大多数例子是关于单一约束的结构尽管多约束的结构是具有更大的实际意义。 2 。离散 去探索具有数学性质的最优化结构问题，这是经常有用的用一个分立模拟取代连续问题。考虑，例如，简直弹性梁在图。 1 最大偏转所产生的给予负荷 6 。对于离散性问题，用一系列用弹性铰链连接的刚性棒取代梁。 图 在图 1中，紧紧三个铰链已经被介绍了。但是，为了得到真实的结果，这个离散取决于铰链的数目。弯矩i可以转换铰链数目 关系为 i=is i(1) 其中于是静定梁， 在铰链上的弯矩i独立的刚度此， 1=5s 1, 2=32s, 3=3s. (2) 接下来，弯曲角度i将被视为最小。在一个直角坐标系的实际空间中i,i=1,2,3,这个非负性质的弯曲角度和在铰链上的绕度 1，2，3 0, 51+32+3 0, 31+926 /h 0, （ 3） 1+32+53 0， 作为接下来将要讲的例子， 一组质量的刚度假定达到刚度的一定比例。这个设计即是 1s+2s+3s=，通过公式（ 2） 5/1+3/2+1/3= (4) 值得注意的是 通过公式（ 3） -（ 4），一个局部优化对于整体优化必须的。 这句话很重要因为刚刚开始的设计对于满足所有约束的相邻设计是没有什么实际价值的。也要注意到 优化总体上 不会对应到位于一个边的或恰好位于一个顶点区域的一个点的空间设计。这句话直观的表明冲突的约束不一定是有用的。假如，举个例子来说，设计1s,2s,3u1u= s 是刚度的最小变量，设计1s+ s ,2s- s ,3s,拥有相同的质量的理想绕度为 1u ， 2u ， 3u 满足3u 2u , 2u 1u 1u = 而且三个刚度降低一定的比例直到第一个铰链的绕度是 。假如这个探讨是正确的降低结构只来那个的过程能够被重复直到铰链 1和 2有相同的质量 &。接下来设计的更改1这种方式，可能有争论关于；优化设计必须对应一个边上的一个点或者可行性区域上的顶点，由于优化设计，两三个不平等的约束就必须列方程。这冲突的约束通常会出现在工程界，显然用手是不能完成的。具有不平等约束绕度的最小重量梁的设计近期已经已经讨论了被 1）较早前调查（见，例如，参 2在某一特定点所涉及的不等式约束对挠度，举例来说，在载荷集中在一个点上。在特殊情况下该点的最大绕度位置是已知的，举例来说，从对称的考 虑，一个约束拥有最大绕度能够被指定通过这种方法。同样的 3 ）已经指出，然而，约束一个具体而不是最大偏转的或许会出现自相矛盾的结果。举例来说，当一些载荷对横向是下降的然而其他的是上升的，也许会发现某些点的绕度是零。因为他仍然是零当所有的刚度都都以一定比例下降，这个设计的约束是相容性的任意小质量的约束。 3 。布局优化 在前面的示例，类型和布局结构（简单支持，直梁）被给予并且一些某些地方的参数（刚度值）是设计师选择的。一个更有挑战性的问题就是类型和 /或布局也必须选择最佳的。 数字显示，由桁架 支持的给出点的应力载荷 ，即连接杆组成的结构，布局就是要去尽量减少重量。为了简化分析， 5 ）通过划分网格其横向间距 2 a ）优化是接下来发现需要解决的线性规划。优化布局取决于质量的比例 h/, 图 优化布置的桁架根据多恩，戈莫里，格林伯格（见 5 ） 。 因为 h/L=1和 P/化值是唯一的除开某 些临界值 P/Q，其中优化布局的变化，举例来说，从图 2d。接下来例子，然而，承认一个无限大的优化布局是所有相关的拥有同样重量的结构重量。 三个同样大小的作用力 P，彼此之间成 120 角，已经给出的点成等边三角形（图 3a）。这些连接点连接的构架用最小质量设计。当上界约束0提供轴向应力在任何杆。数据 3些力作用在静定机构的杆上之后从平衡的角度考虑 ,每个杆件的横截面都会有一个0大小的横向应力。 接下来讨论 6， 75表明两个设计有相同的质量。设想飞机都是用相同的材料组成的，单位平面产生的张力达到 过虚拟的规律，这个杆件 F 每个杆件受力为 F 力在杆方向的虚拟 位移为 ,如果杆件的横截面积是 ，则有 F=0A 和 = V （ 5） V 是使用的所有材料的体积。现在得到功图。 3 。选择最优设计。 的杆件；他等价于两个机构如果下面eW=5）这两个构架使用相同数量的材料 。 如果两个构架的横截面积都减半， 每个新的构架能够驱动满载荷强度 P/2并且不违反设计约束 d 的方式叠加杆件另外用相同质量的构建按图 3d 和3。 图。 4 。替代解决问题，在图。第 3 a 图 4显示的另一个解决问题的方法。所有重杆件的中心线是圆弧的。每个杆件的轴向力和他们的轴向应力0有关 其他轻些的杆件。他们也根据轴向拉伸应力0，除开杆件 O 和 成圆锥。正常情况下杆件的边缘区域是受力的密集区域。如果紧紧是有限的数目被使用就像图 4 并且这些边缘是多变形而不是圆弧 ，这就是重量稍稍重一点点的结果。 首先申明，然而，如果杆件连接件（节点板和铆钉或焊接）的质量被考虑其中这个就不是有效的。 在图 4中的杆件也许可以被有厚度统一材质均匀的杆件替代。然而质量是取胜之本，设计也是这样的，然而，设计构架的时候遇到的狭隘的问题要被排除。在这种情况下，被排除的设计将不会比其他的设计的质量更轻。然而，除开这一类对一个最优的进行有足够广度定义的，或许紧紧对一系 列降低质量的设计进行融合一个最优的这不是考虑的范围之内 图。 5 。优化结构转递周边荷载至中环环 的 桁架而非 磁盘状 图 5 对这句话进行了说明。 在周边的离散的径向载荷等价于中央形成一个环状的小质量的构件。 如果这个声明的结构将要被表达磁场形状的连续变厚度所取代，优化后的结构如图 5要为排除。注意清楚看看图 5他所显示的紧紧是质量大的成员。 这些之间，质量轻些的成员之间关系是稠密的，他们之间是以螺线形状 45o 相交的。 这个问题在图 3 中已经有一个解决方案，每个构件都紧紧是包含受力的杆件。图 6说明了一个问题既要使用没有受力的也要使用受力的并且只有唯一解。上方的数据是横向载荷 P 会产生弯曲，底部的刚性结构可以看为是无限小的质量，在杆件上的应力应该在 0之内。 这个最优的构架边缘杆件的质量较大；质量大的构件中间的构件的质量较轻，由图 6表达。注意在位移密集的杆件连接处定义一个位移区域他的的基点固定。 一 个移动的受力区域都拥有这一规律即 1=0/ E 其中 实上，如果 u和 x和 y，那么1+2就是个常量有以下的关系即 xu+， （ 6） 其中 x 和 似的，事实上最大的主应变 有连续的线性关系 4xu*xv+ xv+1（ 7） 从公式（ 6）中可以看出，其中存在函数 ,如下 u =y,v = 8） 把 公式（ 8）代入公式（ 7）中则有 4 2 2xx =4 21(9) 沿着根部弧有， u =v =0,则可以推到出 =0， n=0 （ 10） 其中n是沿着根部弧的微变量。 微分方程（ 9）是一个双曲线，其特点主应变是线性变化的。柯西条件在公式（ 10）中元素 在根部是是独特的，并且和公式（ 8 ）位移也有关系 图。 6 。 在 传输载荷 曲 和 刚性壁 的 独特的优化结构 这些位移现在将使用作为真正位移在虚功原理在一个任意的结构上其载荷 6）并且每个连杆都在一个轴向应力为 以得到eW= F 其中 F =0 0/因为每个单位的拉伸或者压缩量超过0/ F F ( 20/E)V, (11) 其中 接下来，设想第二中结构它是由有规律线性应变的的连杆组成并且他要考虑到虚拟的移动区域和底部相应的应变 涉及到结构的质量将要用星号标记。就像前面所讲的那样运用虚拟原理，最有 *eW=是 *F *= *0A并且* = 0 / 则有 *F = 2*0 / 12) 则可以看出 *eW=较表达式（ 11）和（ 12）则可以看出第二种方案的结构使用的材料要比第一种方案少。刚刚介绍的观点来自于 7），然而，是一个纯粹的静态的边界条件，因此不能达到一个独特的优化结构。对一个独特的优化涉及来说最重要的是运用运动学边界条件已经被作者指出（见 8） 图。 7 。几何布局优化。 图 7 说明了一个重要的具有几何性质的在有规律的应变和无规律的应变组成的区域种的正交曲线应变 让由 度 是由一个曲线上的切线和另外一个曲线上点的切线相交的夹角。在平移的理论下，正交的曲线他的几何性质可以表明他最大的剪应力（滑移线）的方向在这个背景下，它们通常后来被 见 . 9) 见 . 10)命名；它们的结果已经被广泛的应用（见，例如，见。 11 图。 8 。优化布置时，可用空间范围内垂直通过 。 图 8 显示了最优空间的布局即可用的结构空间是垂直连线 A 和 B 之间的 范围 。因为这个固定支座弧是一个直线部分，在三角形 次显示，他的边缘的杆件的质量重，其他的连杆紧紧一些并且质量轻。这些杆件不布局有些类似于人类的骨架的结构 (4, p. 12, 6)。 照。 154 。新方法，建立优化准则 图。 9 。梁展不断截面。 在图 9中的梁是建立在 和 承受载荷 P 的这一点的绕 度的值是 。这个梁有一个核心部分他的宽度是 B 并且它的高度是 H。这个梁他的宽度是 量减少这个梁的质量也就意味着要尽量减少制约质量的尺寸。 此外，由于厚度为中 i=1,2,有2 /2 B H T ,其中 1 1 2 2W L s L s(13) 这个可能被视为尽量减少质量的方程。 使得距离，并且在这个横截面上的曲率和弯矩分别是i iM s k则 P 的表达式可以写为如下 P =i i k =2i i ii s k (14) 就是在 行微积分。 在此框架内的问题，设计一个 梁就是确定i=1， 出只 P ），并且据（ 14）公式 2i i ii s k =i i ii s k （ 15） 此外，曲率满足绕度的）根据据最小势能原理根据2 2i i ii s k d x P 2 2i i ii s k d x P (16) 约去两边的 2P 在式子（ 16）中在根据式子（ 15）可得 0i i i ii s s L（ 17） 这里 2(1 / )i i i iL k d x （ 18） 则就是每个单位平方米的曲率在如 12(19) 从 公式（ 17）和（ 13）得到其此条件（ 19）是最优的，这个条件也是下面所要讲到的。 应用这个定义则有 i i i is s L （ 20） 设计公式得到 0（ 21） 换个方面说，不等式（ 17）从最小势能原则得到 0（ 22） 1,2和1，2将作为 和 的载体像坐标系。 这个不等式（ 21）中 不能位于第二和第四象限，并且这个不等式要求 和 是个非负的。 现在，优化设计率都是未知的但是是唯一的。换个方面来讲， 的值所限，因此当 的方向被选择时其等级也所确定。此外，在这个最优化设计中的的近于边缘空间的相应的 一半将被不等式（ 21）确定。假如 和 的坐标是非负的，那么 和 的坐标必须位于正常的一半空间内，因此，（ 19）是最优化的必要条件，这是根据 见 . 17). 5。多用途的设计 图。 11 。多用途的设计。 图 11 说明了一个 多用途的设计的问题。在第一个原因下，张度为 。在第二个条件下，在中央给定的载荷 ；并且， 在第三个条件下，他的屈曲载荷至少是 B。注意设计的约束是个不等式的形式，以为最优设计或许是一个或是两个。 下面的扫个因素是相互制约的。正如第四部分，取得下面的不等式 2( ) 0s s u d x ， 2 2( ) 0s s H v d x ， 2 2( ) 0s s H w d x （ 23） 其中 () ()和 ()公式（ 23）可以得到 2 21u ， 2 2 2 1 ， 2 2 2 1 （ 24） 其中 , 是常数。很容易看到这些最优条件是不兼容的。因为负荷 被认为是第一最优条件，但是负载 T 下的曲率 v 将不满足第二最优条件。 因此不等式（ 23）不能左右相加，他们乘积得 2 2 2 2 2 2 2 2( . . . . . . ) ( ) 0s s u H v H w d x （ 25） 这个不等式表明 2 2 2 2 2 2 2 2( u H v H w = （ 26） 是一个充分条件。这个条件也是必要的。 他可以变成另外一个形式 2 2 2 2 2 2L T B C o n s t （ 27） 其中 L,T和B是面应力是分别在配合，梁和柱上。其他的例子和理论，参见。32。结束语 总的概括而言，应该强调指出设最典型的计约束主要讨论在第四部分，不是只是紧紧只说建立最优准则的方法。事实上，最优化准则在继续发展。举例来说，标准（ 31 ） 优化设计给出了动态偏转已第一次出现在文件上，这里没有已经被解决的例子 4。在优化设计中给出了刚度参见 里已经简单的讨论了限制性的优化梁的设计，但是但不是必需的。 F 6, I. 1970 . W. of to in An ) of a to a of in of of a ) is at A of ) is by of a of or a of ) a of ) 1. he of be as of a be of be in or or or be to a or a of in of to or to of of In of to a of to an of be in In of of be to in be a of it be of an is be if to be be of to do in of of be of 2. o of a of it is to by a 1. by P is to a To by a of by 1, 1. of to to a of iis to be to of iby i=is i(1) of is iat of 1=5s 1, 2=32s, 3=3s. (2) In of i, be as In a i = 1, 2, 3, of of on ，2，3 0, 51+32+3 0, 31+926 /h 0, （ 3） 1+32+53 0， As be in a in of of a be to be to s+2s+3s=2), 5/1+3/2+1/3= (4) 3)-(4), a is a is a be to be is of in to a of on an or a of of is a s,3u1u= . If s a of s+ s ,2s- s ,3s, be to u ， 2u ， 3u u 2u , 2u 1u 1u= , be in at . If of be at . In 1be by be by to In it be to a on an or at a of or of be as of to is in is to on of on 1). 2on at a at of of a In of of is a a on be in 3) a to on a it be to a at is it as in is of 3. n of at of A or be a of of to be to by a a of of is to be to To 5) by of of to of a l h (2a). is to of a 2. of 5). on of h/l , h/l = 1 a , is , at 2c to 2d. an of of , of 20 of an 3 A is to be an is of in b c in of to an of in is 6, 175 of to e By of on of of 3. F of on of If of , =0A = L. V （ 5） is of of on of of is of of it If 5) of If of of be to of . O, O, to be If a is as 4, a to be of or is 4 be by a of as to by of of a In to be of an is is it a of of an is a of class
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