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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 选修2-1,空间向量与立体几何,第二章,2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 第1课时 空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理,第二章,1空间向量基本定理 定理：如果三个向量a、b、c_，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_其中a，b，c叫做空间的一个基底，_都叫做基向量 2空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点O的_的单位向量e1、e2、e3称为单位正交基底,xaybzC,a，b，c,两两垂直,不共面,原点,e1，e2，e3,平移,xe1ye2ze3,x，y，z,p(x，y，z),1用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的，空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底 用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”,2空间向量基本定理的证明,3空间直角坐标系与单位正交基底的关系 在空间选一点O和一个单位正交基底e1，e2，e3，以点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴，这样我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中O叫原点，向量e1、e2、e3都叫坐标向量，经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，它们分别是xOy平面，xOz平面，yOz平面,4空间一点的坐标的确定方法 对空间的一点P(x，y，z)，如图(1)所示，过点P作面xOy的垂线，垂足为P，在面xOy中，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，则|x|PC，|y|AP，|z|PP，根据点A、C、D的位置即可确定x、y、z的符号,例如，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD2，AA11，则A(2,0,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,1)，B1(2,3,1)，C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，如图(2)所示,5特殊向量的坐标表示 若向量a平行x轴，则a(x,0,0) 若向量a平行y轴，则a(0，y,0) 若向量a平行z轴，则a(0,0，z) 若向量a平行xOy平面，则a(x，y,0) 若向量a平行yOz平面，则a(0，y，z) 若向量a平行zOx平面，则a(x,0，z),1如果a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( ) Aa与b共线 Ba与b同向 Ca与b反向 Da与b共面 答案 A 解析 因为空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，因此，a、b必与任何向量共面，所以a、b为共线向量故选A,3向量a(0,2,3)，则( ) Aa平行于x轴 Ba平行于平面yOz Ca平行于平面zOx Da平行于平面xOy 答案 B 解析 因为a的横坐标为0，所以a平行于平面yOz.,5设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组： a，b，x，x，y，z，b，c，z， x，y，abc， 其中可以作为空间的基底的向量组有_个 答案 3 解析 都可以作为空间的一组基底，对于，xab，显然a、b、x共面，故a，b，x不能作为空间的一个基底,空间向量基本定理,总结反思 用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示,空间向量的坐标表示,总结反思 本题主要考查空间向量的坐标表示解题时，首先要找准标准正交基，然后根据向量axiyjzk，则a(x，y，z)，即可得到结果,探索性问题,设a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a43i2j5k，试问是否存在实数、v，使a4a1a2va3成立？如果存在，求出、v的值；如果不存在，请给出证明,迷津点拨 正确理解共面向量的概念 判断三个向量是否共面，注意向量共面的充要条件的表达式，在解题时切记结合图形，运用数形结合法写出向量表达式，如本例中(1)式，注意相反向量在化简中的作用，如本例中(2)式,
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