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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 选修2-1,空间向量与立体几何,第二章,2.2 空间向量的运算 第2课时 空间向量的数量积,第二章,非零,AOB,a，b,0，,相同,相反,垂直,aB,3异面直线 (1)定义：_的两条直线叫做异面直线 (2)所成的角：把异面直线平移到一个_，这时两条直线的_(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角 (3)特例：两条异面直线所成的角是_，则称两条异面直线互相垂直,不在任何一个平面内,平面内,夹角,直角,二、空间向量的数量积 1定义： (1)条件：a、b是两个非零向量 (2)结论：把_叫做a、b的数量积(内积) 2性质： (1)ae|a|cosa，e(e为单位向量) (2)abab0. (3)|a|2aA (4)|ab|a|b|.,3运算律：空间向量a、b满足,(ab),ba,abac,1两向量的夹角 (1)由定义知，两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为，规定0a，b. (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并特别约定：0与任何向量a都是共线的，即0a；在研究垂直时，也认为0A (3)对任意两向量a、b有： a，bb，a；a，ba，ba，b,2向量的数量积 (1)两向量的数量积，其结果为数量而不是向量，数量积的正负由两向量夹角余弦值决定 (2)两向量数量积是两向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法有区别，在书写时要把它们区别开来，内积写成ab，而不能写成ab (3)ab的几何意义为： a与b的数量积等于a的模与b在a上的投影|b|cosa，b的乘积，也等于b的模与a在b上的投影|a|cosa，b的乘积,向量数量积的求解,如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB、AD的夹角都是120. (1)求AC1的长；(2)证明AC1BD；(3)求直线BD1与AC所成角的余弦值,夹角、长度问题,分析 本题目主要考查利用数量积求长度、夹角问题，关键是如何将几何问题转化为向量的计算问题 能否以原题中直线为基线形成向量呢？这些向量能否分解为从同一个顶点出发的三个向量的组合形式呢？从同一个顶点出发的三向量的模长及任意两向量的夹角为多少呢？向量分解和数量积运算形成本题的主线,如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC夹角的余弦值,总结反思 用向量夹角公式解决异面直线所成的角的问题时，应注意角的范围，向量夹角的范围是0，180，异面直线所成的角的范围是(0，90当用夹角公式求出的角为钝角时，它的补角才等于异面直线所成的角,在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD 分析 要证线面垂直，只需证明线线垂直从而转化为两向量互相垂直，即abab0.,垂直问题,已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC,
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