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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大 版 选修1-1,圆锥曲线与方程,第二章,2 抛 物 线 2.2 抛物线的简单性质,第二章,1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质 2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,抛物线y22px(p0)的简单几何性质 (1)对称性：以y代y，方程y22px(p0)不变，因此这条抛物线是以_轴为对称轴的轴对称图形 抛物线的对称轴叫作抛物线的_，抛物线只有一条对称轴 (2)顶点：抛物线和它的_的交点叫作抛物线的顶点,抛物线的几何性质,x,轴,轴,(3)离心率：抛物线上的点到_的距离和它到_的距离的比，叫作抛物线的离心率，抛物线的离心率为1. (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为_. (5)范围：由y22px0，p0知x0，所以抛物线在y轴的_侧；当x的值增大时，|y|也_，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p值越大，它开口_.,焦点,准线,2p,右,增大,越开阔,1.将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若0，则直线与抛物线_，若0，则直线与抛物线_，若0，则直线与抛物线_特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有_个公共点 2在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程_的问题,直线与抛物线的位置关系及抛物线的焦点弦,相切,相交,没有公共点,一,根,1.焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为,2.焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.,答案 B,答案 A 解析 抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴， 抛物线的方程为标准形式 当抛物线的焦点在x轴上时， 抛物线过点(1,2)，,3过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A8 B16 C32 D61 答案 B 解析 由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2. 代入y28x，得(x2)28x，即x212x40. x1x212，弦长x1x2p12416.,4顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点到焦点的距离等于6的抛物线方程是_ 答案 y224x或y224x,5过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_. 答案 2,若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标,抛物线的标准方程,方法规律总结 求抛物线的标准方程要明确四个步骤： (1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)； (2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)； (3)找关系(根据条件列出关于p的方程)； (4)得出抛物线的标准方程,已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上一点P(3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x 答案 B,抛物线的焦点弦问题,已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点 (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值； (2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离,(1)斜率为2的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长度为_ (2)过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的长度为_ 答案 (1)5 (2)10,解析 (1)如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x1.,由题设，直线AB的方程为：y2x2. 代入抛物线方程y24x， 整理得：x23x10. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x1的距离|AA|， 即|AF|AA|x11，同理|BF|x21， |AB|AF|BF|x1x22325.,最值问题,设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线焦点 (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值,方法规律总结 与抛物线有关的最值问题，一是涉及到焦点或准线的距离，可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离)，构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”使问题获解；二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小，常转化为函数最值求解,直线与抛物线的位置关系及定点定值问题,如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值,(2015福建文，19)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切 答案 (1)y24x (2)略,考虑问题要全面,辨析 本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意,
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