矩阵的特征值与特征向量.ppt

第五章 矩阵的特征值与特征向量,在经济理论及其应用中 常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题 也都要用到特征值的理论,2,引言,纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ? 例：,一 特征值与特征向量定义:,非零列向量X称为A 的对应于特征值的特征向量,定义6设A是n阶矩阵 如果对于数，存在n维非零 列向量X , 使,AXX 成立,则称为方阵A的一个特征值,第一节 矩阵的特征值与特征向量p117,AXX,如何求特征值和特征向量?,即,齐次方程有非0解,齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0,即| I A| 0,(2) | I A| 0称为方阵A的特征方程,二 特征多项式与特征方程,定义 设A为n阶方阵,(1) f() | I A|称为方阵A的特征多项式,即,即,(3)方阵A的特征值就是特征方程| I A| 0的根,所以方阵A的特征值也称为方阵A的特征根,齐次线性方程组,的每一个非零解向量， 都是方阵A的对应于特征值的特征向量,所以方阵A对应于每一个不同特征值的特征向量都有无穷多个,三 特征向量,定理1 如果非零向量X为矩阵A对应于特征值的特征向量,则CX(C0为任意常数）也是A对应于特征值的特征向量,定理2 如果X1， X2为矩阵A对应于特征值的特征向量，,且X1+ X2 0，则X1+ X2也是A对应于特征值的特征向量，,即:矩阵A对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍然为A对应于特征向量(不能为0),综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:,第一步 计算矩阵A特征多项式| I A| ;,第二步 求出矩阵A的特征方程| I A|=0的全部根,即求得A的全部特征值1， 1，- n，(其中可能有重根）,第三步 对于A的每个特征值i ,求出对应的齐次线性方程组 （ i I A）X=0的一个基础解系.,矩阵A对应于特征值i 的全部特征向量为,例1 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程为,所以A的特征值为14 2-2,(2) 当14时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值14的全体特征向量为,例1 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(3) 当2-2时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值2-2的全体特征向量为,例2 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程为,所以A的特征值为12 24,(2) 当12时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值12的全体特征向量为,例2 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(3) 当24时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值24的全体特征向量为,例3 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程为,所以A的特征值为124， 32,例3 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=4 32,(2) 当12=4,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值12=4的全体特征向量为,例3 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=4 32,(3) 当3=2,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值32的全体特征向量为,例4 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程为,所以A的特征值为1=2=1 32,例4 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=1 32,(2) 当12=1,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值12=1的全体特征向量为,例4 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=1 32,(3) 当32,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值3=2的全体特征向量为,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| （利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性质本身需牢固掌握）,四 特征值与特征向量的性质,例5 设是方阵A的特征值 证明 (1) 2是A2的特征值,证明,因为是A的特征值,故有X0,使AXX,于是,(1) A2X,2X,(AX),A(X),A(AX),所以2是A2的特征值,因为X0 知0,有XA1X,由AXX,(2) 当A可逆时,(2) 当A可逆时, 是 的特征值,是 的特征值,例5：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值 结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然是 p ,一般地，令,则,例6：设3 阶方阵 A 的特征值为1, 1, 2，求 A* +3A2E 的特征值 解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j (A) 其中|A| = 1(1) 2 = 2 从而A* +3A2E的特征值分别为,例7 主对角线上的元素为1，2-n的n阶对角矩阵或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角线上的n个元素1，2-n,定理4 n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值,证明,转置矩阵AT的特征多项式为,即方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式,所以方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值,例8 证明: 方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为0,证明,必要性,则,如果A为奇异阵,所以A有一个特征值为0,充分性,如果A有一个特征值为0，对应的特征向量为X,则,有非0解,所以 |A|=0,定理3 n阶方阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值均不为0,p120定理2 设1 2 m(mn)是n阶方阵A的m个互不同特征值X1 X2 Xm分别是A对应于1 2 m的特征向量 则 X1 X2 Xm线性无关,A (k1X1k2X2 ks Xs)0,证明,设有常数k1 k2 ks,1k1X12k2X2 sks Xs0,用数学归纳法,m=1时 X10 显然成立,使 k1X1k2X2 ks Xs0,设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关,现证明 m=s时 X1 X2 Xs线性无关,k1X1k2X2 ks Xs0,sk1 X1s k2X2 s ks Xs0,1k1X12k2X2 sks Xs0,两边同乘s,两式相减,(s -1)k1X1 (s - 2)k2X2 (s - s-1)ks-1 Xs-10,所以 X1 X2 Xs线性无关,由设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关,由数学归纳法知,对任意正整数m,结论成立,p121例10 设1和2是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量依次 为X1和X2 证明X1 X2不是A的特征向量,用反证法 假设X1X2是A的特征向量 则应存在数 使 A(X1X2)(X1X2) 于是,证明,按题设 有AX11X1 AX22X2 故,A(X1X2)1X12X2,即(1)X1(2)X20,(X1X2) AX1AX2 1X12X2,因此X1X2不是A的特征向量,与题设12矛盾,即12,120,故由上式得,因为X1 X2线性无关,定理6 设1 2 m是方阵A的m个互不同特征值,为1的r1个线性无关特征向量,为2的r2个线性无关特征向量, ,为m的rm个线性无关特征向量,则 向量组,共r1+ r2+ +rm个,线性无关,例3 求矩阵 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程为,所以A的特征值为124， 32,(2) 当12=4,其基础解系可取为,(3) 当3=2,其基础解系可取为,由定理6可知,X1，X2 X3线性无关,定理7 设是n阶方阵A的一个k重特征值则A对应于的线性无关的特征向量的最大个数为l ,则 lk,线性无关特征向量的个数不超过特征值的重数,定理8 设是n阶方阵A的1重特征值则A对应于的线性无关的特征向量有且只有1个,