资源描述
2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率,1.条件概率,A,B,A,B,2.条件概率的性质 (1)有界性:0P(B|A)1. (2)可加性:如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=_.,P(B|A)+P(C|A),1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1. ( ) (2)事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生. ( ) (3)P(B|A)P(AB). ( ),【解析】(1)错误.因为A与B互斥,即A,B不同时发生.所以P(AB)=0,则P(B|A)=0. (2)正确.如图,事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生. (3)正确.P(B|A)P(AB),因为事件B|A中的基本事件空间为A,相对于原来的总空间而言,已经缩小了,而事件AB所包含的基本事件空间不变. 答案:(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知P(B|A)= ,P(A)= ,则P(AB)等于 . (2)把一枚硬币任意掷两次,事件A=第一次出现正面,事件B=第二次出现反面,则P(B|A)= . (3)甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记P(A)=0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)= ,P(B|A)= .,【解析】(1)P(AB)=P(B|A)P(A)= 答案： (2)P(A)= ，P(AB)= ， 若P(B|A)= . 答案： (3)由条件概率的概念可知， 答案：,【要点探究】 知识点 条件概率 1.对条件概率的三点说明 (1)对“条件”的理解 每一个随机试验,都是在一定条件下进行的,条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道,即在原随机试验的条件上又加上一定的条件.,(2)对公式的理解 如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率,那么P(B) P(B|A); 已知A发生,在此条件下B发生,相当于AB发生,要求P(B|A), 相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率,即 P(B|A)=,(3)两个区别 P(B|A)与P(A|B)意义不同,由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率;而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率. P(B|A)与P(B):在事件A发生的前提下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.,2.对条件概率性质的两点说明 (1)前提条件:P(A)0. (2)P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A),必须B与C互斥,并且都是在同一个条件A下.,【微思考】 事件A发生的条件下,事件B发生的概率可记作P(A|B),这种记法正确吗?为什么? 提示:不正确.P(A|B)表示事件B发生的条件下,事件A发生的概率,应该记为P(B|A).,【即时练】 下列式子成立的是 ( ) A.P(A|B)=P(B|A) B.0P(B|A)1 C.P(AB)=P(B|A)P(A) D.P(AB|A)=P(B) 【解析】选C.由P(B|A)= 得P(AB)=P(B|A)P(A).,【题型示范】 类型一 条件概率的计算 【典例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)= ( ),(2)抛掷红、蓝两颗骰子,记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”,求: 事件A发生的条件下,事件B发生的概率. 事件B发生的条件下,事件A发生的概率.,【解题探究】1.题(1)中事件A中的元素有什么特点? 2.题(2)中要求P(A|B)或P(B|A)需要求什么? 【探究提示】1.事件A中的两个数有两种可能:两个都是奇数;两个都是偶数. 2.先求P(AB),P(A)或P(B),再由条件概率的计算公式求P(B|A)或P(A|B).,【自主解答】(1)选B.因为P(A)= P(AB)= 所以P(B|A)= (2)方法一：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为66=36,事件A 的基本事件数为62=12，所以P(A)= .由于3+6=6+3=4+5 =5+48,4+6=6+4=5+58,5+6=6+58,6+68,所以事件B的基 本事件数为4+3+2+1=10，所以P(B)= 在事件A发生的条件下，事件B发生，即事件AB的基本事件数为 6.,故P(AB)= .由条件概率公式，得,方法二：n(A)=62=12. 由3+6=6+3=4+5=5+48,4+6=6+4=5+58,5+6=6+58, 6+68知，n(B)=10,其中n(AB)=6. 所以P(B|A)=,【延伸探究】若将题(2)中事件A中的“4或6”改为“5”， 求解. 【解题指南】解答本题先计算P(B)，P(AB)，再由定义 计算.,【解析】抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为66=36,由于3+6 =6+3=4+5=5+48,4+6=6+4=5+58,5+6=6+58,6+68,所 以，事件B的基本事件数为4+3+2+1=10，故P(B)= “蓝色骰子点数为5，且红、蓝两色骰子点数之和大于8”这 一事件即为事件AB，其基本事件数为3(红色骰子点数分别为 4，5，6)，故P(AB)= 因此P(A|B)=,【方法技巧】计算条件概率的两种方法,提醒：(1)对定义法,要注意P(AB)的求法. (2)对第二种方法，要注意n(AB)与n(A)的求法.,【变式训练】设某种动物能活到20岁的概率为0.8,能活到25岁 的概率为0.4,现有一只20岁的这种动物,问它能活到25岁的概 率是多少? 【解题指南】应用公式P(B|A)= 计算.,【解析】设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25 岁”， 则P(A)=0.8，P(B)=0.4，而所求概率为P(B|A)， 由于BA,故AB=B， 于是P(B|A)= 所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.,【补偿训练】任意向(0,1)区间内投掷一个点，用x表示该点 的坐标，则=x|0x1，事件A=x|0x0.5，B=x|0.25 x1,则P(B|A)=_. 【解析】 答案：,类型二 条件概率的性质及应用 【典例2】 (1)一个袋中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为( ),(2)在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题即可通过;若能答对其中的5道题就能获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题,并且已知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.,【解题探究】1.题(1)中在第一次摸到红球的条件下,第二个球是黄球或黑球,这其中涉及了几个事件?分别是什么?它们具有什么关系? 2.题(2)中此考生在这次考试中已经通过,则他可能答对几道?若获得优秀呢?,【探究提示】1.涉及了两个事件,一个是,在第一次摸到红球的条件下,第二个球是黄球;另一个是,在第一次摸到红球的条件下,第二个球是黑球,它们是互斥的. 2.此考生考试已经通过,说明他至少答对了4道题,即可能是4道,可能是5道,也可能是6道.但若是获得优秀,则他可能答对5道,也可能答对6道.,【自主解答】(1)选C.设事件A为“摸出第一个球为红球”，事 件B为“摸出第二个球为黄球”，事件C为“摸出第二个球为黑 球”. 方法一： 所以,所以P(BC|A)= 即所求概率为 .,方法二：n(A)=1 =9， n(BC|A)= =5， 所以P(BC|A)=,(2)设“该考生6道题全答对”为事件A，“该考生恰好答对了5道题”为事件B，“该考生恰好答对了4道题”为事件C，“该考生在这次考试中通过”为事件D，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E，则D=ABC，E=AB，且A，B，C两两互斥，由古典概型的概率公式知P(D)= P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C),又AD=A，BD=B， 所以P(E|D)=P(AB|D) =P(A|D)+P(B|D),【方法技巧】利用条件概率性质的解题策略 (1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A). (2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.,【变式训练】(2014榆林高二检测)有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取出两瓶,若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率是 .,【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是 红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色 或黑色”， 则D=BC，且B与C互斥， 又,故P(D|A)=P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A) 答案：,【补偿训练】有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率,【解析】设A=从第一个盒子中取得标有字母A的球， B=从第一个盒子中取得标有字母B的球， R=第二次取出的球是红球， 则容易求得 事件“试验成功”表示为RARB，又事件RA与事件RB互斥， 故由概率的加法公式，得 P(RARB)=P(RA)P(RB) =P(R|A)P(A)P(R|B)P(B),【易错误区】对事件不理解导致失误 【典例】有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_.,【解析】设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为 事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为 P(B|A)=0.8， 又P (A)=0.9，P(B|A)= ， 得P(AB)=P(B|A)P(A)=0.80.9=0.72. 答案：0.72,【常见误区】,【防范措施】 对事件的正确理解 解决此类问题的关键是细心审题，首先明确是否为条件概率问题，然后正确设出“事件A”“事件AB”“事件B|A”，在此基础上，选择恰当的概率公式.如本例中若将“事件B|A”和“事件AB”混淆，则易造成解题失误.,【类题试解】一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑 球，一次摸出5个球，在已知它们颜色相同的情况下，该颜 色是白色的概率为_. 【解析】令事件A为“一次摸出的5个球颜色相同”, 事件B为“一次摸出的5个球全是白色球”, 则 故P(B|A)= 答案：,
展开阅读全文