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第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程,曲线的方程和方程的曲线的定义,这个方程的解,曲线上的点,判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上,那么方程f(x,y)=0就是曲线的方程.( ) (2)如果f(x,y)=0是某曲线C的方程,则曲线上的点的坐标都适合方程.( ) (3)x2+y2=1(x0)表示的曲线是单位圆.( ),提示:(1)错误.曲线的方程必须满足两个方面. (2)正确.满足曲线的方程的定义. (3)错误.x2+y2=1(x0)表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆在y轴右侧的部分. 答案:(1) (2) (3),【知识点拨】 曲线与方程的定义的三点说明 (1)纯粹性:定义中的条件,阐明曲线上没有坐标不是方程的解,也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外. (2)完备性:定义中的条件,阐明符合条件的所有解对应的点都在曲线上而毫无遗漏.,(3)实质:定义的实质是平面曲线的点集M|P(M)和方程f(x,y)=0的解集(x,y)|f(x,y)=0之间的一一对应关系.具体如下: 由曲线和方程的这一对应关系,既可以通过方程研究曲线的性质,又可以通过曲线求出曲线的方程.,类型 一 曲线的方程与方程的曲线的概念 【典型例题】 1.设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面命题中正确的是( ) A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0 C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0,2.已知点M( ,-m)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,求实数m的值. 【解题探究】1.在什么条件下才能判断方程是曲线的方程,曲线是方程的曲线? 2.点在方程所表示的曲线上的含义是什么?,探究提示: 1.判断方程是曲线的方程,曲线是方程的曲线时,必须具备两个条件,即曲线上点的坐标都是这个方程的解;以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.二者缺一不可,是不可分割的整体. 2.点在方程表示的曲线上的含义是此点的坐标满足此曲线的方程,即把点的坐标代入方程成立.,【解析】1.选D.“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不正确,就是说“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程f(x0,y0)=0,但(x0,y0)C,即一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0,故应选D.,2.点M( ,-m)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上, x= ,y=-m适合方程x2+(y-1)2=10, 即( )2+(-m-1)2=10, 解得m=2或m= 故实数m的值为2或,【拓展提升】 1.判断“方程是曲线的方程”和“曲线是方程的曲线”的方法 2.点P(x0,y0)与曲线C:f(x,y)=0的关系 (1)点P在曲线C上f(x0,y0)=0. (2)点P不在曲线C上f(x0,y0)0.,【变式训练】“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题指南】解决本题的关键是分清楚哪个是条件,哪个是结论,然后考虑是否满足两个条件. 【解析】选B.“曲线C的方程是f(x,y)=0”“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是曲线C上的点”,但满足f(x,y)=0不能说明“f(x,y)=0”为曲线方程.,类型 二 曲线与方程的判定问题 【典型例题】 1.方程(x+y-1) =0表示的曲线是( ) A.两条互相垂直的直线 B.两条射线 C.一条直线和一条射线 D.一个点(2,-1),2.下列方程表示如图所示的直线C,对吗?为什么? (1) =0. (2)x2-y2=0. (3)|x|-y=0.,【解题探究】1.必修2中接触到的曲线有哪些,它们对应的方程分别是什么? 2.判断方程表示什么类型曲线一般先从哪里入手? 探究提示: 1.必修2中接触到的曲线主要有直线和圆,它们所对应的方程分别是Ax+By+C=0(AB0),(x-a)2+(y-b)2=r2. 2.判断方程表示何种曲线,一般先把方程化为熟悉的类型,如直线、圆的方程形式.,【解析】1.选C.(x+y-1) =0, 或x-y-3=0, 前者表示射线x+y-1=0(x2),后者表示一条直线. 2.(1)不对,方程 =0中,须x0,y0. 所以 =0表示直线C中第一象限的部分. (2)不对.方程x2-y2=0可化为x2=y2即|x|=|y|, 它表示四个象限的角平分线即y=x. (3)不对.方程|x|-y=0可化为y=|x|. 如点(-1,1)满足方程,但不在直线C上.,【互动探究】若把题1中的方程改为(x+y-1)( -1)=0, 表示什么曲线? 【解题指南】解答本题,要注意题目中的隐含条件x-30. 【解析】因为(x+y-1)( -1)=0,所以可得 或者 -1=0,也就是x+y-1=0(x3)或x=4. 故方程表示一条射线和一条直线.,【拓展提升】 1.曲线与方程的判定技巧 (1)若方程f(x,y)=0无实数解,则与之对应的曲线是不存在的.反之曲线不存在,则方程f(x,y)=0无实数解. (2)判断点是否在曲线上,其实质就是判断点的坐标是否适合曲线的方程. (3)判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线,只要一一检验定义中的“两条性质”是否都满足,并作出相应的回答即可.这是解决“曲线”与“方程”问题的关键.,2.方程表示的曲线的判断步骤,【变式训练】方程 所表示的曲线图形是( ) A.两条线段 B.两条直线 C.两条射线 D.一条直线和一条线段 【解析】选A.原方程可化为 1-|x|=1-y,即y=|x|. 又1-y0即y1, 1-|x|0即-1x1, 方程表示如图所示的两条线段.,类型 三 曲线的交点问题 【典型例题】 1.若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不对 2.求直线y=x+3被抛物线y=2x2截得的线段的长度.,【解题探究】1.怎样求曲线的交点? 2.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式是什么? 探究提示: 1.解两条曲线的方程联立的方程组,可以求出曲线的交点. 2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则,【解析】1.选C.联立得方程组 解得交点为 (-4k,-3k),代入圆的方程中. 即(-4k)2+(-3k)2=25,k=1. 2.方法一:由 解得 或 即直线与抛物线的交点坐标为A(-1,2),B( ). 所截线段的长为,方法二:设直线y=x+3与抛物线y=2x2的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则由方程组 得2x2-x-3=0,0, 又A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线y=x+3上, y1=x1+3,y2=x2+3,y2-y1=x2-x1,|AB|= = = 所截线段的长为 .,【拓展提升】 1.求曲线交点的三个步骤,2.两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系 曲线C1,C2的方程分别为f(x,y)=0和g(x,y)=0. (1)若P(x0,y0)为C1,C2交点,则 (2)交点的个数与 的解的组数相同. 特别地,C1与C2没有公共点 没有解.,【变式训练】已知两曲线的方程为C1:2x-5y+5=0,C2:y=- , 判断两曲线有无交点.若有交点,求出交点坐标,若无交点,说明理由. 【解题指南】两曲线的交点坐标即两曲线方程的公共解,将两曲线方程联立方程组,方程组有几组解,则两曲线就有几个交点,故将两曲线交点问题转化为方程组解的个数问题.,【解析】联立得方程组 由,消去y 得2x2+5x+50=0 ,=25-42500, 因为方程无实数解,从而方程组无实数解,因此曲线 C1:2x-5y+5=0与C2:y=- 无交点.,【易错误区】方程变形中不是恒等变换致误 【典例】(2013沧州高二检测)方程|x|+|y|=|xy|+1表示的曲线是 . 【解析】对于方程|x|+|y|=|xy|+1, x0,y0时,x+y=xy+1即(x-1)(1-y)=0, 也就是x=1,y=1, 这时曲线表示x=1,y=1在第一象限的部分及x轴,y轴上的点(1,0)和(0,1).,x0,y0时,x-y=-xy+1即(x-1)(y+1)=0, 这时曲线表示x=1,y=-1在第四象限的部分及x轴,y轴上的点(1,0)和(0,-1). x0,y0时,-x+y=-xy+1,即(x+1)(y-1)=0, 这时曲线表示x=-1,y=1在第二象限的部分及x轴,y轴上的点 (-1,0)和(0,1).,x0,y0时,-x-y=xy+1即(x+1)(y+1)=0, 这时曲线表示x=-1,y=-1在第三象限的部分及x轴,y轴上的点(-1,0)和(0,-1). 故综上可知|x|+|y|=|xy|+1表示的曲线为x=1,y=1四条直线. 答案:四条直线,【误区警示】,【防范措施】 1.合理进行分类讨论 解决带有绝对值符号的题目,首先要正确地分类,在统一的分类标准下,把不确定元素进行分类讨论,如本例中x,y根据题意分了四种情况讨论. 2.条件结论并向分析 解决问题时多观察,多思考,要适时把条件和结论并向分析,同时可以从结论选项中找出差别,有利于解题,如本例中每种讨论的结果都要结合所对应的条件分析所对应的曲线.,【类题试解】方程y= 所表示的曲线是 . 【解析】y= =|x-1|= 所以方程表 示直线y=x-1,y=-x+1在x轴及x轴上方的部分,即两条射线. 答案:两条射线,1.直线x-y=0与曲线xy=1的交点是( ) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,1),(-1,-1) D.(0,0) 【解析】选C.由 得 或,2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A.y2=x与y= B.y=lgx2与y=2lgx C. =1与lg(y+1)=lg(x-2) D.x2+y2=1与|y|=,【解析】选D.主要考虑x,y的取值范围,A中y2=x中yR, 而y= 中y0,B中y=lgx2中x0,而y=2lgx中x0;C中 =1中yR,x2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y-1,x2, 故只有D正确.,3.已知直线l:x+y-3=0及曲线C:(x-3)2+(y-2)2=2,则点M(2,1)( ) A.在直线l上,但不在曲线C上 B.在直线l上,也在曲线C上 C.不在直线l上,也不在曲线C上 D.不在直线l上,但在曲线C上 【解析】选B.因为点M(2,1)适合于直线x+y-3=0,也适合于曲线(x-3)2+(y-2)2=2,所以点M在直线l上,也在曲线C上.,4.已知02,点P(cos,sin)在曲线(x-2)2+y2=3上,则的值是 . 【解析】因为P(cos,sin)在曲线(x-2)2+y2=3上, (cos-2)2+sin2=3. 整理得cos= , 又02,= 答案:,5.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是 . 【解析】由 得 或 或 或 故方程(x2-4)2+(y2-4)2=0 表示的图形是四个点. 答案:四个点,6.判断下列说法是否正确: (1)方程(x+y) =0表示的曲线是圆或直线. (2)方程2x2+y2-4x+2y+3=0表示一个点. 【解析】(1)错误.由(x+y) =0得 或x2+y2-4=0,前者表示直线y=-x在圆 x2+y2=4外的两条射线(包括端点),后者表示圆x2+y2=4. 所以表示的是圆和两条射线.,(2)正确.方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0, 由2(x-1)20,(y+1)20, 知 解得 故方程表示的图形是一个点且坐标是(1,-1).,
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