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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 必修1,集 合,第一章,第一章,3 集合的基本运算,3.2 全集与补集,如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？ 你不可能直接去找张三、李四、王五、，一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容(补集)的现实基础.,1.全集 在研究某些集合的时候，这些集合往往是_的子集，这个_叫作全集，用符号_表示,某个给定集合,给定的集合,U,2补集,x|xU，且xA,所有不属于A的元素,U,A,1.(2014湖北高考)已知全集U1,2,3,4,5,6,7，集合A1,3,5,6，则 UA( ) A1,3,5,6 B2,3,7 C2,4,7 D2,5,7 答案 C 解析 U1,2,3,4,5,6,7，A1,3,5,6， UA2,4,7,2(2015天津高考)已知全集U1,2,3,4,5,6，集合A2,3,5，集合B1,3,4,6，则集合A(UB)( ) A3 B2,5 C1,4,6 D2,3,5 答案 B 解析 A2,3,5，UB2,5，则A(UB)2,5，故选B.,3集合AA|1x2，Bx|x1 Bx|x1 Cx|1x2 Dx|1x2 答案 D 解析 Bx|x1，Ax|1x2， RBx|x1， A(RB)x|1x2,4设全集Ux|x9且xN，A2,4,6，B0,1,2,3,4,5,6，则UA_，UB_，BA_. 答案 0,1,3,5,7,8 7,8 BA0,1,3,5 解析 由题意得U0,1,2,3,4,5,6,7,8，用Venn图表示出U，A，B，易得UA0,1,3,5,7,8，UB7,8，BA0,1,3,5,5已知集合A3,4，m，集合B3,4，若AB5，则实数m_. 答案 5 解析 由补集的定义知5B，且5A，故m5.,已知全集U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，求集合B. 思路分析 先由集合A与UA求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B. 规范解答 解法1：A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7， 又UB1,4,6，B2,3,5,7 解法2：借助Venn图，如图所示， 由图可知B2,3,5,7,求补集的简单运算,规律总结 1.求补集的两个步骤 (1)明确全集：根据题中所研究的对象，确定全集U. (2)借助补集定义：利用UAx|xU，且xA求A的补集 2根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解,已知A0,1,2，UA3，2，1，UB3，2,0，用列举法写出集合B. 解析 A0,1,2， UA3，2，1， U3，2，1,0,1,2 又UB3，2,0， B1,1,2.,集合的交、并、补的综合运算,设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求R(AB)及(RA)B.,规律总结 1.进行集合的交、并、补运算时应紧扣定义，适当借助Venn图及数轴等工具 2交、并、补运算时常用的性质 (1)(UA)(UB)U(AB) (2)(UA)(UB)U(AB),设全集UR，Ax|x2px120，Bx|x25xq0，若(UA)B2，A(UB)4，求AB. 解析 因为(UA)B2， 所以2B，且2A. 因为A(UB)4，所以4A，且4B. 所以424p120,2252q0， 所以p7，q6. 此时A3,4，B2,3，所以AB2,3,4.,利用Venn图进行集合运算,集合Sx|x10，且xN，AS，BS，且AB4,5，(SB)A1,2,3，(SA)(SB)6,7,8，求集合A和B. 思路分析 本题可用直接法求解，但不易求出结果，用Venn图法较为简单 规范解答 解法1：(1)因为AB4,5，所以4A,5A,4B,5B. (2)因为(SB)A1,2,3，所以1A,2A,3A,1B,2B, 3B.,(3)因为(SA)(SB)6,7,8，所以6,7,8既不属于A，也不属于B. 因为Sx|x10，且xN，所以9,10不知所属 由(2)(3)可知，9,10均不属于SB，所以9B,10B. 综上可得A1,2,3,4,5，B4,5,9,10 解法2：如图所示 因为AB4,5， 所以将4,5写在AB中 因为(SB)A1,2,3，所以将1,2,3写在A中,因为(SB)(SA)6,7,8， 所以将6,7,8写在S中A，B之外 因为(SB)A与(SB)(SA)中均无9,10，所以9,10在B中 故A1,2,3,4,5，B4,5,9,10 规律总结 此题解答中的解法2的巧妙之处就是运用数形结合的方法求解，即利用Venn图将已知条件在图中标出，并从图中找出所求，直观形象，一目了然，省去解法一中的推理,设全集UxZ|2x4，集合S与T都是U的子集，ST2，(US)T1，(US)(UT)1,3，则有( ) A0S且0T B0S但0T C0S但0T D0S且0T 答案 B 解析 由已知，得U1,0,1,2,3， ST2，2S,2T. (US)T1，1T，1S.,利用补集思想求参数范围,已知集合Ax|x22(m3)x3m50，Bx|x0，若AB，求实数m的取值范围 思路分析 直接求解，情况较多，十分麻烦，这时我们从求解问题的反面来考虑，就比较简单 规范解答 设全集Um|4(m3)24(3m5)0m|m2或m7，若方程x22(m3)x3m50的两根均为非正，则,规律总结 本题运用的“正难则反”的解题策略，正是运用了“补集思想”对于难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能起到化难为易、化隐为显，从而将问题解决,若集合AxR|x2xm0至少含有一个元素，求m的取值范围 分析 解答本题可通过14m0，或14m0来求根的情况，亦可利用补集的思想，先求14m0，然后取其补集,若集合Ax|1x1，当全集U分别取下列集合时，求UA. (1)UR；(2)Ux|x2；(3)Ux|4x1 错解 三种都求为UAx|x1或x1 辨析 给定集合A，如果不指定全集，是不能求补集的，本题应该利用补集定义、结合数轴求解,正解 (1)UR，Ax|1x1， UAx|x1或x1 (2)Ux|x2，Ax|1x1， UAx|x1或1x2 (3)Ux|4x1，Ax|1x1， UAx|4x1或x1 规律总结 全集主要在与补集有关问题中用到，要注意它是求补集的条件，研究补集问题需先确定全集,
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