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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修1-1 1-2,常用逻辑用语,第一章,1.1 命题及其关系,第一章,1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系,1.了解四种命题的概念 2了解命题的逆命题，否命题、逆否命题，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题 能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假,重点：了解命题的逆命题、否命题、逆否命题 难点：分析四种命题的相互关系以及四种命题的真假之间的关系,新知导学 1一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做_，其中一个命题叫做_，另一个叫做原命题的_,命题的逆命题、否命题、逆否命题,互逆命题,原命题,逆命题,2一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做_，其中一个命题叫做_，另一个叫做原命题的_ 3一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做_，其中一个命题叫做_，另一个叫做原命题的_,互否命题,原命题,否命题,互为逆否命题,原命题,逆否命题,牛刀小试 1观察下列四个命题： (1)若两个角是对顶角，则它们相等； (2)若两个角相等，则它们是对顶角； (3)若两个角不是对顶角，则它们不相等； (4)若两个角不相等，则它们不是对顶角,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？ 若(1)为原命题，则(2)为(1)的_命题，(3)为(1)的_命题，(4)为(1)的_命题 若(4)为原命题，则(1)为(4)的_命题，(2)为(4)的_命题，(3)为(4)的_命题 答案 逆 否 逆否 逆否 否 逆,新知导学 4四种命题的相互关系,四种命题的关系及真假判断,5(1)原命题为真，它的逆命题_为真 (2)原命题为真，它的否命题_为真 (3)原命题为真，它的逆否命题_为真 即互为逆否的命题是等价命题，它们同_同_，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为_的命题，它们同_同_,不一定,不一定,一定,真,假,逆否,真,假,牛刀小试 2(2015山东文)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是( ) A若方程x2xm0有实根，则m0 B若方程x2xm0有实根，则m0 C若方程x2xm0没有实根，则m0 D若方程x2xm0没有实根，则m0 答案 D 解析 当原命题的条件和结论分别否定并交换时为逆否命题,答案 C,4给出命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab且cd，则acbd”；对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题个数为( ) A0 B1 C2 D4 答案 A 解析 原命题是假命题，故其逆否命题为假命题，其否命题为假命题，故其逆命题为假命题，故选A,写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题 (1)负数的平方是正数； (2)正方形的四条边相等 分析 此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题,命题的四种形式之间的转换,解析 (1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数” 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数,(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等 逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等 逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形,方法规律总结 关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法： 首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式 其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题； (2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题； (3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q，则非p”即为逆否命题 关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写,写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题 (1)若x2y20，则x、y全为0. (2)若ab是偶数，则a、b都是偶数 解析 (1)逆命题：若x、y全为0，则x2y20； 否命题：若x2y20，则x、y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2y20. (2)逆命题：若a、b都是偶数，则ab是偶数； 否命题：若ab不是偶数，则a、b不都是偶数； 逆否命题：若a、b不都是偶数，则ab不是偶数,写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假 (1)若ABA，则AB； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)若ab0，则a0或b0. 分析 找准原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题,四种命题的关系及真假判断,解析 (1)逆命题：若AB，则ABA真命题； 否命题：若ABA，则A B真命题； 逆否命题：若A B，则ABA真命题 (2)逆命题：若两条直线平行，则它们垂直于同一条直线真命题； 否命题：若两条直线不垂直于同一条直线，则它们不平行真命题； 逆否命题：若两条直线互相不平行，则它们不垂直于同一条直线假命题,(3)逆命题：若a0或b0，则ab0.真命题； 否命题：若ab0，则a0且b0.真命题； 逆否命题：若a0，且b0，则ab0.真命题,方法规律总结 1.由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤其是写否命题和逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结论的真假性上进行否定，而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题同真假”进行检验 2当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的,已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中( ) A真命题个数一定是奇数 B真命题个数一定是偶数 C真命题个数可能是奇数，也可能是偶数 D以上判断都不对 答案 B 解析 因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B,我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题 证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0. 分析 已知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化，本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转化为证明其逆否命题,正难则反，等价转化思想,解析 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)” 证明如下： 若ab0，则ab，ba， 又f(x)在(，)上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f(a) f(a)f(b)f(a)f(b)， 即逆否命题为真命题 原命题为真命题,有下列四个命题： (1)“若xy0，则x、y互为相反数”的否命题； (2)“对顶角相等”的逆命题； (3)“若x3，则x2x60”的否命题； (4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题 其中真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 B,解析 (1)“若xy0，则x与y不是相反数”是真命题 (2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题 (3)“若x3，则x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，当x4时，x3而x2x660，故是假命题 (4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题 点评 本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)的解法举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方法,分清命题的条件与结论 写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果ab，cd，则acbd”的逆命题、否命题，并判断它们的真假 错解 逆命题：如果acbd，则a、b、c、d是实数，且ab，cd.假命题 否命题：如果a、b、c、d不是实数，ab，cd，则acbd.假命题,辨析 上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件 正解 逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果acbd，则ab，cd.假命题 否命题：已知a、b、c、d是实数，如果ab，或cd，则acbd.假命题,
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