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第二节 平面向量的数量积及其应用,知识点一 平面向量的数量积 1.两个向量的夹角 (1)定义,AOB,0，,ab,2.平面向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义 _叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab_.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零.其中|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. (2)向量数量积的运算律 ab_ (交换律) (ab)c_(分配律) (a)b_a(b)(数乘结合律),|a|b|cos,|a|b|cos,ba,acbc,(ab),3.平面向量数量积的性质 已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2),a1b1a2b2,知识点二 向量的应用 1.向量数量积在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：ababx1y2x2y10(b0). (2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： abab0x1x2y1y20. (3)求夹角问题.,2.向量在三角函数中的应用 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识. 3.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.,【名师助学】 1.本部分知识可用如下图表进行记忆：,2.利用数量积及坐标运算法则，可以使有关几何问题(如长度、夹角、垂直等)转化为代数问题(如函数问题、方程问题、不等式问题等)，使问题简化，降低了思维难度. 3.两个向量的数量积，可以从代数、几何坐标等多个角度进行思考，从而使问题更简捷的解答.,方法1 数量积的运算,解 (1)(2a3b)(2ab)61， 4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3，644ab2761，,点评 解决本题的关键是准确的记忆与向量有关的公式.,方法2 数量积的应用,应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的哪些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等.总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.,答案 A 点评 解决本题的关键是充分利用选择项中给出的向量模的关系，判断向量夹角的范围.,方法3 用向量方法解决平面几何问题 用向量方法解决平面几何问题可分三步： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.,【例3】 (2013湖南卷改编)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为_. 解题指导突破1：根据条件转化到平面直角坐标系中. 突破2：把条件坐标化. 突破3：把坐标化后的式子配方整理可得到圆的方程. 突破4：利用圆的知识求|c|max.,点评 平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.本题采用了“形化”与“数化”的结合，利用坐标运算将问题转化为圆的知识解决.,
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