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第二节 平面向量的数量积及其应用,知识点一 平面向量的数量积,1.两个向量的夹角,(1)定义,AOB,(2)范围 向量夹角a，b的范围是_，且a，bb，a.,0，,ab,2.平面向量的数量积,(1)平面向量的数量积的定义 _叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab_.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零.其中|a|cos (|b|cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. (2)向量数量积的运算律 ab_(交换律) (ab)c_(分配律) (a)b_a(b)(数乘结合律),|a|b|cosa，b,|a|b|cosa，b,ba,acbc,(ab),3.平面向量数量积的性质,已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2),知识点二 向量的应用,1.向量数量积在几何中的应用,(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：ababx1y2x2y10(b0). (2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： abab0x1x2y1y20. (3)求夹角问题.,2.向量在三角函数中的应用,与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.,3.向量在解析几何中的应用,向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.,【名师助学】,1.本部分知识可用如下图表进行记忆：,2.利用数量积及坐标运算法则，可以使有关几何问题(如长度、夹角、垂直等)转化为代数问题(如函数问题、方程问题、不等式问 题等)，使问题简化，降低了思维难度. 3.两个向量的数量积，可以从代数、几何坐标等多个角度进行思考，从而使问题更简捷的解答.,方法1 平面向量数量积的运算,求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.,解题指导(1)C90，可选取向量，为基底表示向量或者利用数量积的几何意义； (2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义.,答案 (1)D (2)1 1,方法2 平面向量的夹角与模,(1)求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算，即先平方再开方. (2)求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系，并且要注意两向量夹角的范围，不共线的两个向量数量积大于零说明两向量的夹角为锐角，数量积小于零说明两向量的夹角为钝角.,【例2】 (1)(2012课标全国)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，,|2ab|，则|b|_.,方法3 平面向量的综合应用,(1)解决平面向量综合应用问题最基本的策略就是利用平面向量的定义和运算法则将问题转化为熟知的数学问题来解决，转化时要准确. (2)对于平面向量在三角函数、几何等问题中的综合应用，坐标化是最基本的方法，应该熟练掌握平面向量的坐标运算，这是进行灵活转化的基础.,A.P1，P4 B.P1，P3 C.P2，P3 D.P2，P4 解题指导|ab|1(ab)21，|ab|1(ab)21，将(ab)2，(ab)2展开并化成与有关的式子，解关于的不等式，得的取值范围.,答案 A,点评 解决本题的关键是充分利用选择项中给出的向量模的关系，判断向量夹角的范围.,点评 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；(2)工具作用：利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.,
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