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第3讲 平面向量,高考定位 1.对向量的概念和线性运算的考查多以熟知的平面图形为背景，多为客观题；2.对平面向量数量积的考查多以考查角、模等问题为主，难度不大；3.还可能体现模块之间的综合性(例如与三角、解析几何等相结合).,真 题 感 悟,A,2.(2015陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|ab|a|b| B.|ab|a|b| C.(ab)2|ab|2 D.(ab)(ab)a2b2 解析 对于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于B，当向量a和b方向不共线时，有|ab|a|b|对于C、D容易判断恒成立.故选B.,B,C,答案 9,考 点 整 合,1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (1)ababx1y2x2y10. (2)abab0x1x2y1y20.,热点一 平面向量的有关运算 微题型1 平面向量的线性运算,答案 (1)C (2)2 探究提高 选准一组基底，运用向量的加、减运算及平面向量基本定理可求.,微题型2 平面向量的坐标运算,解析 依题意得a2c(3，1)(2k，14)(32k，15)， 因为b(1，3)，(a2c)b.所以3(32k)15，解得k1.,探究提高 在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是 x1y2x2y10；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b0时，ab存在唯一实数，使得ab)来判断.,答案 1,微题型3 平面向量数量积的运算,探究提高 求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.,热点二 平面向量与三角的交汇,探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.,1.在解决平面向量的数量积问题中，要注意： (1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3)平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等. 2.平面向量的数量积的运算有两种形式 (1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化； (2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化.,3.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直. 4.两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线. 5.平面向量的综合运用主要体现三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.,
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