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1,7.2,偏导数 与 全微分,2,一偏导数,1. 一元函数变化率与多元函数变化率 一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率， 即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）,o,x,y,P,x, 二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率随y变化的变化率随xy同时变化的变化率。,即点P(x,y)在域D内可沿x轴沿y轴沿其它直线方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。,o,x,y,z,M,P,D,4,2偏导数定义,定义8.4 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果固定 后，一元函数 在 点 处可导，即极限,存在，则称A为函数 在点 处关于自变量 的偏导数，记为 或,5,记为 或,类似地， 在点 处对y的偏导数定义为,6,3偏导函数概念, 偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点 (x,y)处对 x（ y ）的偏导数都存在， 则它就是x,y的函数，称为偏导函数。 记号：,或,或, 在不至混淆时常称偏导函数为偏导数。, z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是偏导函数在(x0,y0)处的函数值.,7,4. 偏导数的几何意义,切线M0Ty对y轴的斜率,o,x,y,z,M0,P0,x0,y0,Ty,Tx,z=f(x0,y),z=f(x,y0),切线M0Tx对x轴的斜率,8,5偏导数的计算法,对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算： 求 时，只要把y暂时看作常量而对x求导数； 求 时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。,9,例 1求 在点(1,2)处的偏导数。,解,10,例2 求 的偏导数。,解：,11,解:,例3 设 求证：,12,例4 求 的偏导数。,解:,13,6.高阶偏导数,二阶偏导数： 设 为D上的二元函数 ，则其在 D上的偏导数为 若二元函数 的偏导数也存在， 则称其是函数 的二阶偏导数。,14,z=f(x,y)的二阶偏导数,记号：,15,例5 求二阶偏导数,解：,16,解：,17,注记：, 若 在D内连续，则在D内 （二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）, 类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、n阶 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数；, 二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个， n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个； 等等。,18,7. 偏导数的经济意义,边际需求:,偏弹性:,两种商品，价格分别为 和 需求函数：,称为边际需求,发生变化，而 不变时,其中：,19,发生变化，而 不变时,其中：,称为1商品需求量 对自身价格 的直接价格偏 弹性； 称为1商品需求量 对相关价格 的交叉价格偏弹性。,20,二全微分,1全增量 偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z的增量称为偏增量。 如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加 x(或宽增加y)，则面积的增量是偏增量。,21,如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变，这时面积的改变量（增量）就是全增量。,全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取得增量时，函数z的增量称为全增量。,o,x,y,x0,y0,y0+y,x0+x,x0y,y0x,xy,22,2全微分,定义8.5 如果函数 在点 处的改变量 可表示为 其中 与 无关， 为 时的无穷小量，即 则称表达式中的线性主部 为函数 在点 处的全微分，记为 即 并称函数 在点 处可微分或可微。,23,定理8.1：若z=f(x,y)在点 可微分，则 z=f(x,y)在 的偏导数 必定存在，且,24,例6 求 的全微分,解：,25,定理8.3： 若函数 在点 的某 邻域内偏导数存在且偏导数连续，则该函 数在点处可微。,定理8.2 若函数 在点 处可微， 则该函数在点 处连续。,26,多元函数连续、偏导数存在、可微的关系,27,3全微分在近似计算中的应用, ,28,1、偏导数的定义,2、偏导数的计算、偏导数的几何意义,（偏增量比的极限）,小结,3、多元函数全微分的概念；,4、多元函数全微分的求法；,5、多元函数连续、偏导数存在、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,
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