资源描述
鲁棒优化设计的多目标遗传算法 摘要： 现实 世界中的多目标工程 的优化 设计问题往往 存在着不可控制的 参数变化。解决这些问题的目的是为了获得 良好的 解决方案 ,并就目的和可行性而言，这些解决方案应该尽量的好，与此同时对于参数的变化 是 不敏感 的 。这样的解决方法可以被称为 鲁棒最优解决方案 。为了调查研究最优方案的性能和 鲁棒性 之间的权衡关系，我们提出了一个新的健全的多目标的遗传算法来优化两个目标：一个是适应 度 值，另外一个是 鲁棒性 指数， 在多目标和原始优化问题 的 可行性方面 ，适应度值是 一种评定设计的解决方案性能的 数值 ，而 鲁棒性 指数，基 于非梯度为基础的参数灵敏度估计的方法，是一种在数量上评估设计方案 鲁棒 性的措施。这种多目标的遗传算法并不需要一个假设的无法控制的参数概率分布，也不利用这些参数的梯度信息，三个距离度量可用于获得系统的 鲁棒性 指标和有效的解决办法。为了能够更好的说明它的应用， 多目标遗传算法可以应用于来自 文献 中的两个研究深入的工程设计的问题。 类别和学科的描述 ： 化非线性程序 关键词：多目标遗传算法， 鲁棒性 设计优化， 鲁棒性 和性能的权衡 一 在现实世界中，有许多的工程优化的问题，由于其他不确定性，使得这些问题的参数 有着无法控制的变化，这些变化可以显著的降低这优化的方案的性能，甚至还能改变所获得方案的可行性，这些变化的意义 在工程设计问题上尤为 重要 ，这往往在有界可行域或者在最优解的边界所处的可行的领域范围内。在文献中已经有很多的方法和方案来获得稳健的设计解决方法，这就是说， 这些 可行的设计方案 在他们的目标中很 适应 ，并且这些方案的客观的表现或者可行性（或者两者）对于参数的变化不敏感，一般而言，这些方法可以被分为两类：随机的方法和确定性的方法，随机的方法使用变量参数的概率信息，例如，他们的期望值和方差 ,以最大限度降低解决方案的 灵敏度。 (如帕金森疾病学组 ，可 进行可行性鲁棒性 优化 也称为可靠性优化。 同时，金和森得霍夫提出 了 一个进化性的 的方案来处理在使用偏差信息时的性能和 鲁棒性 的权衡问题。 随机方法的主要缺点是对于无法控制的参数的概率分布是已知的或者是假设的，但是在现实的工程设计的问题中，事先获得这样的信息是很困难（甚至是不可能的事情）。 另一方面，确定性方法使用参数的梯度信息获得了 鲁棒性 的最佳的设计方案， 方法的目的在于获得最佳的解决方案来满足额外的 鲁棒性 规定的约束，这往往由决策者规定 的 。 在这论文中，我们 提出了一个新的确定性的方法来调查研究最佳解决方法的性能和 鲁棒性 的权衡关系，是基于多目标的遗传算法。我们追求的目标是同时优化： 1）最佳解决方法的 性能的 度量，比如，适应度的价值，这解释了原来的优化问题的目标函数和约束的价值。 2） 最佳解决方法的 鲁棒性 的度量， 鲁棒性 指数，最初是由 出来的， 它的推广使用是通过使用 两种额外的距离规范 。这种确定性的方法是用非梯度基础来对参数敏感度进行估计， 对于参数， 这可以应用于 无法分辨的 目标函数或者约束函数的优化问题 ，任何的多目标遗传算法都可以在文献中应用到这 种方法。 在 者试图获得对参数变化不敏感最佳解决方案 ,换言之， 鲁棒性 的要求在他们的方法中被认为是一种约束，相反，我们把 鲁棒性 视为我们的目标之一，并且形成了一个新的双目标的 鲁棒性 优化问题（这个问题不管这个原始的问题有多少目的），来调查研究解决方案的 鲁棒性 和性能的关系，这个稳健的多目标遗传算法旨在同时最大化的提高性能和 鲁棒性 ，本论文的其他的组织文本如下：在第二部分，我们将展示最初的优化问题并且解释一些定义和专业术语，基于 对于目标和可行性的描述，我们将在第三节展示出我们的新方法 ，在第四节我们将展示解决两个测试问题的应用，随后将讨论其结果，本文将以对于第五节的总结来结束。 二 在这部分中，我们将正式的定义问题并且在这篇论文中解释一些文中有使用的定义和专有名词。 多目标问题的一般的公式如下所示： 的下标表示 变形的行向量 ） ， 注意的是，本身具有无法控制的设计变量可以包括在 x 和 p 中，大写和小写的 个问题有 们认为所有的约束可以代表不平等 的函数，在这论文中，我们把 1中所示的优化问题叫做原始问题。 在 常这个原始的问题有更多的最优解决方案， 这些最优的解决方案组成起来叫做 ，在 都有讨论到。 在下面，我们将简单的描述在论文中所遇到的专业词汇。 标称参数数值 是参数向量值， 中的问题，参数变量记作 p。 标称 的 p=1中涉及到的优化问题的 让 棒性 中想要分析的设计解决方案， f=fm=数的 标称 数值，并且 g=gl=称 数值。 容忍 区域是 在 通过一组 是关于决策者所想要的鲁棒最优方案不要太敏感的程度 ， 并且 有一系列 p 的数值来形成 个区域通常被 个关系式中，分别是 p 的最大上限和最小下限，简单点说，这个 容忍 区域是被认为是对称的，因为这可以有多于一个的无法控制的参数，并且这些参数有着不同的区间值，我们通常校正我们的公差区域来形成一个超正方形。 参数变化空间：一个 这个空间的 轴是参数的变化 可以接受的性能变化区域 代表着最大的可接受的性能变化，并被 选择，看图表一的具体表示。 合适 度数值 一种结合目标函数和约束函数的程度上，度量解决方法性能的数值，这个 合适 度数值从多目标遗传算法中获得，比如 以在我们的方法中作为 适应 度数值老用。 鲁棒性 数值是计算关于 p 在半径的外部超球状的规范的公差区域的一个在最差敏感区域的半径，在我们的方法中，这被用来作为我们 鲁棒性 的测量方法，我们将在第三部分进一步的讨论它。 三 多目标遗传算法 首先我们讨论了多目标的优化的方法，随后我们讨论了关于优化的可行性方面和两者相结合的方法。 考虑到可接受的性能变化区域（ A解决方法 有一套的在目标函数中的诸如 p 的变化量，因为 p 仍然在 f 的范围之内，一套的 p 在 p 的空间内形成了一个超区域，叫做敏感性区域（ 这个区域的范围如下可见： 图表一所示的是 于解决方法 上可见，这 部的点和在边界上的点分别的对应着 部的， 和边界上的点。 实质上， 前 的 解决方案 们可以使用 个设计的 鲁棒性 越好，但是在一般情况下， 对称的，这就是意味着 设计在 正如在图一的 但是在其他的方向（比如图一的 相对不敏感的，为了克服不对称的问题，一个不太好敏感性的区域可以被用来估计 敏感度不太好的区域是对称的超球形的接近 图上，这个区域是可以最近的接触原始 如在图标 2所示，是一个 双参数的例子。 因为 么它的半径 R 而不是它的大小可以被用来作为衡量其 鲁棒性 的措施，它用来衡量设计的整体的 鲁棒性 ，这个区域的半径可以通过解决单目标的优化问题来计算，如下面所示： 在这个问题上，设计的变量是 p，目标函数是这个区域的半径， 同等的约束函数是 相应所 产生的矢量 f，它处在可接受性能变量的区域的边界上，这个区域评估方法的具体的讨论已经在其他地方给出了。 一个类似的方法可以用在可行性的 鲁棒性 优化上，对于设计 说，所有的 成了可行性敏感区域，这些点所对应的约束函数值是 g。这就意味着这个可行性敏感区域内的 变 设计可行性。 可行性的 因为 相同的 最差情况下的估计的半径，正如表2所示的 半径 见下面： 比如，在图 2 所示的例子中， 棒性 指数 半径 棒性 ，但是不表示一个于设计解决方法有关的物理结构， 对于 行性能和 鲁棒性 的权衡分析师很困难的，比如，如果 R，那么一个人不会决定是否一个设计方案是稳健还是不稳健，为了解决这个困难，我们使用规范的公差区域的外部的球星空间的半径， R，正如参照 鲁棒性 要求。我们定义 鲁棒性 指数为 =R/并且使用这个 鲁棒性 指数最为在我们多目标遗传算法中的两个目标中的一个， 中计算的优化方法，因为 果 =R/1，那么这个设计的 。 的值 记得我们在本篇论文的目标是最大限度地提高设计的性能和鲁棒性。系统的鲁棒性指数作为一种鲁棒性设计解决方案的一种措施。因此我们还需要对于设计解决方案的整体性能有另一个措施。 在多目标的优化问题中，多目标遗传算法 是获得 多数的多目标遗传算法把一个适应度的值或者等级分配给在整体中的每一个可供选择的解决方法，以表示一种相对好的东西，解释了目标 值 和约束函数，所以适应度值可以从多目标遗传算法中获得，比如来自 的等级数值，可以在我们的方法中被用来 作为性能的衡量措施，适应度的值越小，解决方法的性能越好，更多关于如何获得适应度的数值的细节问题可以参见 23. 注意到不同的多目标遗传算法的方法可以产生不同的解决方案，但是，这儿我们的目标并不是阐述一个新的遗传算法或者区分多目标遗传算法中的不同之处。 考虑到对于一个设计解决方案性能和鲁棒性的两个措施，正如我们之前所讨论的，我们可以阐述我们的问题，它有两个目标，一个是性能，一个是设计解决方法的鲁棒性，对于稳健的多目标的优化的问题的公式如下所示： 这里的适应度数值 数的一个函数，这可以在 1中被计算出来的，鲁棒性可以从 5中计算出来。 在图 4中，一个优化的方案，和一个内外的结构，可以被用来解决 6中的问题，外部的子问题可以同时的把适应性的数值 可以把鲁棒性指数变到最大，我们使用内部的子问题来计算关于 的值。 我们以叫做 x 的数值开始，在外部的子问题上，并且把它送到内部的子问题中，这个 标称数值 在内部的子问题中 是确定的 ，然后我们优化半径 个最优的数值 上面的思想中 ， 对于所有的设计变量这将反复的进行 。 我们现在讨论了应用在鲁棒的多目标遗传算法中的适应性分配的步骤，简单点说，多目标遗传算法的细节并没有在这里讨论，而关注的重点却在鲁棒的 多目标遗传算法上了，遗传算法要求对于所有的候选的解决方法有一个梯度的适应性的数值，在适应性分配步骤上主要的步骤如下： 步骤一，评估原始 步骤二，计算每一个候选问题的鲁棒性指数 。 步骤三， 基于原问题的目标之进行非占优排序 ，考虑到 它的 等级和约束的 违反程度 把适应性 f 分配给候选的解决方法。 步骤四， 基于鲁棒性指数 和适应性数值 f 作为目标函数，进行 非占优排序 选择，在本质上，这就是双目标的 非占优排序 的分类。 步骤五，基于来自步骤四的非受控性等级，分配一个适应性数值，并且继续的强调遗传 算法直到达成一致。 在 5中，我们可以使用三个不同的 ,2或者无穷大，不同的 会影响在设计解决方案中的鲁棒性指数的数值，正如在 5中所示的那样， A,B,1棒性的措施可以在某一个特定的距离标准中表示清楚。 在这部分，我们将要阐述对于两个测试问题在我们提出的解决方案中的应用。 我们使用来描述 自工程设计优化文献中。 这个问题在于设计一个双条的构架，可以用来在节点 个构架在图中所示由两个节点所组成，这个目标函数就是最小的降低两个连接的体积，并且最小的降低他们当中的应力，这个变量时跨区域的链接，这个约束函数是，最大的应力是 100000kn/于 y 来说的范围是 个问题的公式就是下面所示的： 在设计的变化量中的已知的变量以这样的形式来设定， 且 y=可接受的性能变化量 图 7所示的是 以看出适应度值的所有解决方案都有最好的解适应度值，比如它有一个鲁棒指数大于 1的数，在另一方面我们可以看到一个有较小适应度数值的解决方案，决策者有可能不会选着来自 优解决方案，因为这些解决方案可能是更加的有鲁棒性而不是必要性。 图 8通过比较 6中所示的和对于目标函数来说的定位的多目标遗传算法获得的 优解决方案，并且这些解决方案可以通过传统的遗传算法获得，但是这些遗传算法并不考虑鲁棒 性，我们观察到通过 得的 优解决方案与最初的相差甚远，正如预料的那样，这倒是我们得出结论，通过多目标遗传算法得来的名义 图 9比较了鲁棒性指数和使用不同的距离矩阵获得的 如 9所示的，在关于鲁棒性指数的解决方案中存在着一些的重复。 图 10 比较了名义的 优解决方案和通过使用 准距离矩阵的多数的鲁棒性设计和最初的解决方案差之甚远，这些原始的解决方案属于名义的 的前面并 不是最有鲁棒性的，最后注意到，并没有鲁棒性的解决方案可以获得的。 从对于这个例子的模拟结果来看，我们可以得出结论的是计算出来的鲁棒性指数在很多程度上取决于所用的距离矩阵，这也在说明，使用 得的设计解决方案的鲁棒性在很大程度上取决于所用来计算鲁棒性指数的距离矩阵的种类。 本篇论文展示了确定性的鲁棒性多目标遗传算法，这多目标的遗传算法提供了一套的解决方案，这些方案对于性能和鲁棒性来说是 优解，适应度数值解释了原始问题的目标函数和约束函数的问题，这鲁棒性指数也解释了在目标函数和约束 函数中的变量，这展示了在性能和设计解决方案中的折中，多目标遗传 算法使用了一个内外的优化结构来解决了整个问题，并且内外的优化的子问题可以使用双重的遗传算法来得以解决， 任何多目标遗传算法可以使用我们这个方法，这个方法并不要求一个假象的无法控制的参数的概率分布，也不需要使用这些参数的梯度信息，这三个不同的欧几里得的距离矩阵在连接多目标遗传算法中可以被使用来计算鲁棒性指数。 这个方法应用到两个工程测试 的 问题上，鲁棒性的多目标遗传算法的结果与名义的 决方法进行了比较，通过多目标遗传算法的鲁棒性设计解决方案在很大程度上在性能上比 标称的 案要差点，但是同时，它们两个对于在设计参数的变化方面是不敏感的，在两个测试问题中，可以发现，关于目标函数和约束函数的性能，最好的设计解决方案并不是最具有鲁棒性的，鲁棒性的多目标遗传算法可以用来弱化设计方案和鲁棒性性能的权衡的问题，因此可以在选择具有鲁棒性的最好的解决方案中帮助 于模拟的结果，我们可以得出结论，设计的鲁棒性在很大程度上取决于所用来计算鲁棒性指数的距离矩阵的类别。 这篇论文所展示的内容一部分上得到了 印第安头领师 的帮助，美国海军研究办公室 给与了这个组织资金上的帮助，这个工作部分上也得到了美国科学基金会的帮助和支持， 在本文所表达的关于基金会方面，他们的 支持并不能完全的 体现来自他们的帮助和支持。
展开阅读全文