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第1讲 等差数列、等比数列,考情分析,总纲目录,考点一 等差、等比数列的基本运算 (1)通项公式: 等差数列:an=a1+(n-1)d; 等比数列:an=a1qn-1(q0). (2)求和公式: 等差数列:Sn= =na1+ d; 等比数列:当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn= = .,典型例题 (1)(2017课标全国,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5= 24,S6=48,则an的公差为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)(2017课标全国,17,12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数 列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (i)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (ii)若T3=21,求S3.,解析 (1)设等差数列an的公差为d,S6= =48,则a1+a6=16=a2+a5, 又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故选C. (2)设an的公差为d,bn的公比为q, 则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3. (i)由a3+b3=5得2d+q2=6. 联立和解得 (舍去)或 因此bn的通项公式为bn=2n-1. (ii)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,答案 (1)C,方法归纳 等差(比)数列的运算策略 在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则 均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体代入的运 用,以减少计算量.,跟踪集训 1.(2017福州综合质量检测)设等差数列an的公差d0,且a2=-d,若ak是a6 与ak+6的等比中项,则k= ( ) A.5 B.6 C.9 D.11,答案 C 因为ak是a6与ak+6的等比中项, 所以 =a6ak+6, 又等差数列an的公差d0,且a2=-d, 所以a2+(k-2)d2=(a2+4d)a2+(k+4)d, 所以(k-3)2=3(k+3),解得k=9或k=0(舍去),故选C.,2.(2017昆明教学质量检测)已知数列an的前n项和为Sn,且2,Sn,an成等差 数列,则S17= ( ) A.0 B.2 C.-2 D.34,答案 B 由2,Sn,an成等差数列,得2Sn=an+2, 2Sn+1=an+1+2, -,整理得 =-1, 又2a1=a1+2,所以a1=2, 所以数列an是首项为2,公比为-1的等比数列, 所以S17= =2,故选B.,3.(2017湖北七市(州)联考)已知等比数列an的前n项和Sn=2n+1+a,数列 bn满足bn=2-log2 . (1)求常数a的值; (2)求数列bn的前n项和Tn.,解析 (1)当n=1时,a1=S1=22+a=4+a, 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1+a-(2n+a)=2n, an为等比数列, =a1a3,即(22)2=(4+a)23,解得a=-2. (2)由(1)知an=2n,则bn=2-log223n=2-3n, bn+1-bn=-3对一切nN*都成立, bn是以-1为首项,-3为公差的等差数列,即b1=-1,d=-3, Tn=nb1+ d= .,考点二 等差、等比数列的判定与证明 1.证明数列an是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义证明an+1-an(nN*)为一常数; (2)利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n2).,2.证明数列an是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义证明 (nN*)为一常数; (2)利用等比中项,即证明 =an-1an+1(n2).,典型例题 (2017贵州适应性考试)已知数列an满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (1)求a2,a3; (2)证明数列 是等差数列,并求an的通项公式. 解析 (1)由已知得a2-2a1=4, 则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12得2a3=12+3a2,所以a3=15. (2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得 =2,即 - =2, 所以数列 是首项为1,公差为2的等差数列. 则 =1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.,方法归纳 (1)判定一个数列是等差(比)数列,可以利用通项公式或前n项和公式,但 不能将其作为证明方法; (2) =q和 =an-1an+1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条 件,判定时还要看各项是否为零.,跟踪集训 1.已知Sn是等比数列an的前n项和,且S3,S9,S6成等差数列,下列结论正确 的是 ( ) A.a1,a7,a4成等差数列 B.a1,a7,a4成等比数列 C.a1,2a7,a4成等差数列 D.a1,2a7,a4成等比数列,答案 A 显然q=1时不合题意,依题意得S3+S6=2S9, 即 (1-q3)+ (1-q6)= (1-q9)1+q3=2q6a1+a1q3=2a1q6a1+a4=2a 7, a1,a7,a4成等差数列.,2.(2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3 =-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,解析 (1)设an的公比为q,由题设可得 解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn= =- +(-1)n . 由于Sn+2+Sn+1=- +(-1)n =2 =2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.,考点三 等差、等比数列的性质,典型例题 (1)(2017云南11校跨区调研)已知数列an是等比数列,Sn为其前n项 和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12= ( ) A.40 B.60 C.32 D.50 (2)设Sn为等差数列an的前n项和,(n+1)SnnSn+1(nN*).若 -1,则 ( ) A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8 C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7,解析 (1)由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即 数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,则S9-S6=16,S12-S9=32,因此S12=4+8+16+32 =60,故选B. (2)由(n+1)Sn0,a70, 所以数列an的前7项为负值,即Sn的最小值是S7,故选D.,答案 (1)B (2)D,方法归纳 应用数列性质解题的方法 (1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关 系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解. (2)应牢固掌握等差、等比数列的性质,特别是等差数列中,“若m+n=p+ q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*)”这一性质与求和公式Sn= 的综合 应用.,跟踪集训 1.(2017太原模拟试题)已知Sn是等差数列an的前n项和,2(a1+a3+a5)+3(a 8+a10)=36,则S11= ( ) A.66 B.55 C.44 D.33,答案 D 因为a1+a5=2a3,a8+a10=2a9, 所以2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=6a3+6a9=36, 所以a3+a9=6, 所以S11= = =33,故选D.,2.一个项数为偶数的等比数列an,全部各项之和为偶数项之和的4倍, 前3项之积为64,则a1= ( ) A.11 B.12 C.13 D.14,答案 B 设数列an的公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S偶,由题意知,S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.因为数列an的项数为偶数,所以 q= = . 又a1(a1q)(a1q2)=64,所以 q3=64,故a1=12.,3.在数列an中,a1=5,(an+1-2)(an-2)=3(nN*),则该数列的前2 016项的和 是 .,答案 8 064,解析 因为(an+1-2)(an-2)=3,所以(an+2-2)(an+1-2)=3,因此an+2-2=an-2,即an+2= an,所以数列an是以2为周期的数列.又a1=5,因此(a2-2)(a1-2)=3,故a2=3,a1 +a2=8.注意到2 016=21 008,因此该数列的前2 016项的和等于1 008(a1+ a2)=8 064.,1.(2017贵州适应性考试)已知数列an满足an= an+1,若a3+a4=2,则a4+a5= ( ) A. B.1 C.4 D.8,随堂检测,答案 C 解法一:因为an= an+1,a3+a4=2,所以an0,可得 =2,所以an 为等比数列,由an=amqn-m,得a3+a324-3=2,解得a3= ,所以an=a3qn-3= 2n-3,由 此可得a4=a32= ,a5=a322= ,所以a4+a5= + = =4. 解法二:已知an= an+1,可得an+1=2an, 所以a4+a5=2a3+2a4=2(a3+a4)=22=4.,2.已知等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若点(n,Sn)在函数y=2x+1+m 的图象上,则m= ( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3,答案 A 易知q1,Sn= = - qn= - qn+1,又点(n, Sn)在函数y=2x+1+m的图象上, 所以Sn=2n+1+m,所以q=2, 解得m=-2.,3.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4= 8,则 = .,答案 1,解析 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. a1=b1=-1,a4=b4=8, a2=2,b2=2. = =1.,4.(2017广西三市第一次联考)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1(n N*). (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log4an+1,求bn的前n项和Tn.,解析 (1)当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1. 当n=1时,a1=2-1=1,满足an=2n-1, 数列an的通项公式为an=2n-1(nN*). (2)由(1)得,bn=log4an+1= , 则bn+1-bn= - = , 数列bn是首项为1,公差d= 的等差数列, Tn=nb1+ d= .,
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