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第1讲 直线与圆,考情分析,总纲目录,考点一 直线的方程 1.直线方程的五种形式 (1)点斜式:y-y1=k(x-x1). (2)斜截式:y=kx+b. (3)两点式: = (x1x2,y1y2). (4)截距式: + =1(a0,b0). (5)一般式:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).,2.三种距离公式 (1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离: |AB|= . (2)点P到直线l的距离:d= (其中点P(x0,y0),直线l的方程:Ax+ By+C=0). (3)两平行线间的距离:d= (其中两平行线方程分别为l1:Ax+By+ C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1C2).,3.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1, 若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.,典型例题 (1)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为 ( ) A. B. C. D. (2)已知直线l过直线3x+4y-2=0与直线2x-3y+10=0的交点,且垂直于直线 6x+4y-7=0,则直线l的方程为 ( ) A.2x-3y+10=0 B.2x-3y-10=0 C.4x-6y+5=0 D.4x-6y-5=0,解析 (1)由l1l2得(a-2)a=13,且a2a36, 解得a=-1, l1:x-y+6=0,l2:x-y+ =0, l1与l2间的距离d= = ,故选B. (2)由题意联立两直线方程,得 解得 即交点为(-2,2). 由直线l垂直于直线6x+4y-7=0,得直线l的斜率为 . 所以直线l的方程为y-2= (x+2),即2x-3y+10=0,故选A.,答案 (1)B (2)A,方法归纳 求解直线方程应注意的问题 (1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数 的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的情况. (2)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式要求直线不能与x轴 垂直;两点式要求直线不能与坐标轴垂直;截距式方程不能表示过原点 的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线. (3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在.,跟踪集训 1.“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,答案 B 点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3等价于 =3, 解得C=5或C=-25,所以“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为 3”的充分不必要条件,故选B.,2.过点P(-2,2)作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形 面积为8,这样的直线l一共有 ( ) A.3条 B.2条 C.1条 D.0条,答案 C 设直线l的方程为 + =1(a0),由题意得 解 得a=-4,b=4,故满足条件的直线l一共有1条.故选C.,考点二 圆的方程 1.圆的标准方程 当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心 在原点时,方程为x2+y2=r2.,2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0)表示以 为圆心, 为半径的圆.,典型例题 (1)(2016浙江,10,6分)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示 圆,则圆心坐标是 ,半径是 . (2)与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2 的圆的标准方程为 . 答案 (1)(-2,-4);5 (2)(x+2)2+(y-4)2=20,解析 (1)方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a =2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+ =0,亦即 +(y+1) 2=- ,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2= 25,故圆心为(-2,-4),半径为5. (2)易知所求圆的圆心在直线y=-2x上,所以可设所求圆的圆心为(a,-2a)(a 0),因为所求圆与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2 ,所以 =2 ,可得a2=4,则a=-2或a=2(舍去).所以所求圆的标准方程 为(x+2)2+(y-4)2=20.,方法归纳 求圆的方程的两种方法 (1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直 接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程. (2)待定系数法:先设出圆的方程,再列出满足条件的方程(组)求出各系 数,进而求出圆的方程.,跟踪集训 1.已知三点A(1,0),B(0, ),C(2, ),则ABC外接圆的圆心为 .,答案,解析 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则 ABC外接圆的圆心为 .,2.已知圆C过点(-1,0),且圆心在x轴的负半轴上,直线l:y=x+1被该圆所截 得的弦长为2 ,则圆C的标准方程为 .,答案 (x+3)2+y2=4,解析 设圆心C的坐标为(m,0)(m0),则圆心C到直线l:y=x+1的距离d= ,弦长为2 = |m+1|=2 ,解得m=-3或m=1(舍), 圆心坐标为(-3,0),半径为2, 圆C的标准方程为(x+3)2+y2=4.,考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有三种:相交、相切和相离. 直线与圆的位置关系的判断方法主要有点线距离法和判别式法. (1)点线距离法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则dr直线与圆相离. (2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,联立 消去y,得关于x的一元二次方程,其根的判别式为, 则直线与圆相离0.,2.圆与圆的位置关系有五种:内含、内切、相交、外切、外离. 设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2= ,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2= ,两圆心之间的距离为d, 则两圆的位置关系的判断方法如下: (1)dr1+r2两圆外离; (2)d=r1+r2两圆外切; (3)|r1-r2|dr1+r2两圆相交; (4)d=|r1-r2|(r1r2)两圆内切; (5)0d|r1-r2|(r1r2)两圆内含.,典型例题 (1)(2016课标全国)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B 两点,若|AB|=2 ,则圆C的面积为 . (2)(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆 O:x2+y2=50上.若 20,则点P的横坐标的取值范围是 . 答案 (1)4 (2)-5 ,1,解析 (1)圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= . 圆心到直线x-y+2a=0的距离d= .由r2=d2+ ,得a2+2= +3,解得a2 =2,则r2=4,所以圆的面积S=r2=4. (2)解法一:设P(x,y),则由 20可得, (-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20, 即(x+6)2+(y-3)265, 所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点. 又点P在圆x2+y2=50上, 联立得 解得 或 即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),易知-5 x1. 解法二:设P(x,y),则由 20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20,即x2+12x +y2-6y20, 由于点P在圆x2+y2=50上, 故12x-6y+300,即2x-y+50, 点P为圆x2+y2=50上且满足2x-y+50的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),跟踪集训 1.(2017洛阳第一次统一考试)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两 点,则“k=1”是“|AB|= ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A 由|AB|= ,圆O的半径为1得圆心O到直线l的距离等于 , 即 = ,解得k=1.因此,“k=1”是“|AB|= ”的充分不必要条 件,故选A.,2.(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的 长度是2 ,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,答案 B 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0 所得线段的长度为2 ,所以圆心M到直线x+y=0的距离d= = (a0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|= ,则R-r R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.,3.已知圆O:x2+y2=1,点P在直线x-2y+5=0上,过点P作圆O的一条切线,切 点为A,则|PA|的最小值为 .,答案 2,解析 过O作OP垂直于直线x-2y+5=0(P为垂足),过P作圆O的切线PA(A 为切点),连接OA,易知此时|PA|最小.由点到直线的距离公式,得|OP|= = .又|OA|=1,所以(|PA|)min= =2.,1.(2017东北四市高考模拟)直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得 弦长为 ( ) A. B. C.4 D.3,随堂检测,答案 A 圆的圆心坐标为(1,3),半径r= ,则圆心到直线的距离d= = ,所以弦长为2 =2 = .故选A.,2.已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的 中点,则该直径所在的直线方程为 ( ) A.3x+y-5=0 B.x-2y=0 C.x-2y+4=0 D.2x+y-3=0,答案 D 直线x-2y+3=0的斜率为 ,由题意可知该直径所在直线与直 线x-2y+3=0垂直,故该直径所在直线的斜率为-2,所以该直径所在的直线 方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故选D.,3.(2017黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(- 1,0),B(1,2).在圆C上存在点P,使得|PA|2+|PB|2=12,则点P的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 圆C的方程可化为(x-2)2+y2=4,设P(x,y),|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y- 0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,因为|2-2| 2+2,所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,所以点P的 个数为2,故选B.,4.(2017武汉武昌调研考试)已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且与直 线x+2y+3=0垂直,则l的方程为 .,答案 2x-y+2=0,解析 依题意可知,直线l过点 且斜率k=2,故直线l的方程为y-1=2 ,即2x-y+2=0.,5.(2016天津,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 ,则圆C的方程为 .,答案 (x-2)2+y2=9,解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0), 由题意可得 解得 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.,
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