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第2讲 不等式选讲,考情分析,总纲目录,考点一 绝对值不等式 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)0)-af(x)a; (3)对形如|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c的不等式,可利用绝对值不等式的 几何意义求解.,典型例题 已知函数f(x)=|x+3|+|x-a|(a0). (1)当a=4时,已知f(x)=7,求x的取值范围; (2)若f(x)6的解集为x|x-4或x2,求a的值. 解析 (1)因为|x+3|+|x-4|x+3-x+4|=7,当且仅当(x+3)(x-4)0时等号成 立. 所以f(x)=7时,-3x4,故x-3,4. (2)由题意知f(x)= 当a+36时,不等式f(x)6的解集为R,不合题意; 当a+36时,不等式f(x)6可化为 或 即 或 又因为f(x)6的解集为x|x-4或x2, 所以a=1. 方法归纳 用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点. (2)划区间,去绝对值符号. (3)分别解去掉绝对值符号的不等式.,(4)取每个结果的并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值.,跟踪集训 (2016课标全国)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,解析 (1)由题意得, f(x)= y=f(x)的图象如图所示.,(2)由f(x)的表达式及图象知, 当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, 故f(x)1的解集为x|11的解集为 .,考点二 不等式的证明 1.含有绝对值的不等式的性质 |a|-|b|ab|a|+|b|.,2.算术-几何平均不等式 定理1:设a,bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理2:如果a、b为正数,则 ,当且仅当a=b时,等号成立. 定理3:如果a、b、c为正数,则 ,当且仅当a=b=c时,等号成 立. 定理4:(一般形式的算术-几何平均不等式)如果a1,a2,an为n个正数,则 ,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.,典型例题 (2017课标全国,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2. 解析 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)2+ (a+b) =2+ , 所以(a+b)38,因此a+b2.,方法归纳 不等式证明的常用方法 不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已 知条件与待证结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证命题是 否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑 用反证法.在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简 化对问题的表述和证明.,跟踪集训 设a,b,c,d均为正数,且a-c=d-b,证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|cd得( + )2( + )2. 所以 + + . (2)若|a-b|cd.,由(1)得 + + . 若 + + ,则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以abcd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab + 是|a-b|c-d|的充要条件.,考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 1.f(x)a恒成立f(x)mina; f(x)a有解f(x) maxa; f(x)a无解f(x)maxa; f(x)a无解f(x)mina.,2.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时, 等号成立.,典型例题 (2017洛阳第一次统一考试)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式,并作出其图象; (2)若a+b=1,a,b(0,+), + 3f(x)恒成立,求x的取值范围. 解析 (1)由已知,得f(x)= 函数f(x)的图象如图所示.,(2)a,b(0,+),且a+b=1, + = (a+b)=5+ 5+2 =9, 当且仅当 = ,即a= ,b= 时等号成立., + 3(|2x-1|-|x+1|)恒成立, |2x-1|-|x+1|3, 结合图象知-1x5, x的取值范围是-1,5.,方法归纳 解决含参数的绝对值不等式问题常用的两种方法 (1)对参数分类讨论,将其转化为分段函数问题解决; (2)借助于绝对值的几何意义,先求出f(x)的最值或值域,然后再根据题目 要求,求解参数的取值范围.,跟踪集训 (2017沈阳教学质量检测(一)已知函数f(x)=|x-a|- x(a0). (1)若a=3,解关于x的不等式f(x)0; (2)若对于任意的实数x,不等式f(x)-f(x+a)a2+ 恒成立,求实数a的取值 范围. 解析 (1)当a=3时, f(x)=|x-3|- x,即|x-3|- x0, - x-3 x, 解得2x6,故不等式的解集为x|2x6. (2)f(x)-f(x+a)=|x-a|-|x|+ ,原不等式等价于|x-a|-|x|a2,由绝对值不等式的性质,得|x-a|-|x|(x-a)-x|=|a|, 原不等式等价于|a|0,a1.,2.(2017宝鸡质量检测(一)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2. (1)解不等式|g(x)|5; (2)若对任意x1R,都存在x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.,解析 (1)由|x-1|+2|5得-5|x-1|+25, -7|x-1|3,得不等式的解集为x|-2x4. (2)因为对任意x1R,都存在x2R,使得f(x1)=g(x2)成立, 所以y|y=f(x)y|y=g(x), 又f(x)=|2x-a|+|2x+3|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|x-1|+22,所以|a+3|2,解得a-1或a-5, 所以实数a的取值范围为a-1或a-5.,
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