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第1讲 三角函数的图象与性质,考情分析,总纲目录,考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1.三角函数:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则 sin =y,cos =x,tan = .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦, 三正切,四余弦.,2.同角关系:sin2+cos2=1, =tan .,3.诱导公式:在 +,kZ的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.,典型例题 (1)(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为 始边,它们的终边关于y轴对称.若sin = ,则cos(-)= . (2)已知sin +2cos =0,则2sin cos -cos2的值是 . 答案 (1)- (2)-1,解析 (1)解法一:由已知得=(2k+1)-(kZ). sin = ,sin =sin(2k+1)-=sin = (kZ). 当cos = = 时,cos =- , cos(-)=cos cos +sin sin = + =- . 当cos =- =- 时,cos = ,cos(-)=cos cos +sin sin = + =- . 综上,cos(-)=- . 解法二:由已知得=(2k+1)-(kZ),sin =sin(2k+1)-=sin ,cos =cos(2k+1)-=-cos ,kZ. 当sin = 时,cos(-)=cos cos +sin sin =-cos2+sin2=-(1-sin2)+sin2 =2sin2-1=2 -1=- . (2)由sin +2cos =0,得tan =-2. 所以2sin cos -cos2= = = =-1.,方法归纳 应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机 械地使用三角函数的定义就会出现错误. (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定要注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为 同、化高为低、化繁为简等.,跟踪集训 1.已知为锐角,且2tan(-)-3cos +5=0,tan(+)+6sin(+)=1,则 sin 的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 由已知可得-2tan +3sin +5=0,tan -6sin =1,解得tan =3,即 =3,又sin2+cos2=1,为锐角,故sin = .,2.已知点P 落在角的终边上,且0,2),则的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 D tan = = =-1, 又sin 0,cos 0, 所以为第四象限角,因为0,2),所以= .,考点二 三角函数的图象(高频考点) 命题点 1.由三角函数的图象特征求三角函数的解析式.,2.三角函数图象的变换.,3.用“五点法”作三角函数的图象. 函数y=Asin(x+)的图象 (1)“五点法”作图: 设z=x+,分别令z=0, , ,2,求出相应x的值与相应y的值,描点、连 线可得其图象.,(2)图象变换: y=sin x y=sin(x+) y=sin(x+) y=Asin(x+).,3.用“五点法”作三角函数的图象. 函数y=Asin(x+)的图象 (1)“五点法”作图: 设z=x+,分别令z=0, , ,2,求出相应x的值与相应y的值,描点、连 线可得其图象.,(2)图象变换: y=sin x y=sin(x+) y=sin(x+) y=Asin(x+).,典型例题 (1)(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|.若f =2,f =0,且f(x)的最小正周期大于2,则 ( ) A.= ,= B.= ,=- C.= ,=- D.= ,= (2)(2017课标全国,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin ,则下 面结论正确的是 ( ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线 向右平移 个单位长度,得到曲线C2,B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线 向左平移 个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向 右平移 个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向 左平移 个单位长度,得到曲线C2,解析 (1)f =2, f =0, f(x)的最小正周期大于2, = - = ,得T=3,则= = , 又f =2sin =2,sin =1. +=2k+ ,kZ,=2k+ ,kZ. |,= ,故选A. (2)y=sin =cos =cos =cos ,由y=cos x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变;由y=cos 2x的图象得到y=cos 的图象,需将y=cos 2x的图象上的各点向左平移 个单位长度,故选D.,答案 (1)A (2)D,方法归纳,1.函数表达式y=Asin(x+)的确定方法 已知函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象求解析式时,常采用待定系数 法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定;确定 常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破 口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.,2.三角函数图象平移问题处理策略 (1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数得到哪个函数,这是判断 移动方向的关键点. (2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看y=Asin(x+ )中的正负和它的平移要求. (3)看移动单位:在函数y=Asin(x+)中,周期变换和相位变换都是沿x轴 方向的,所以和之间有一定的关系,是初相,再经过的压缩,最后移 动的单位是 .,跟踪集训 1.(2017云南11校跨区调研)函数f(x)=sin x(0)的图象向左平移 个单 位长度,所得到图象经过点 ,则的最小值是 ( ) A. B.2 C.1 D.,答案 C 依题意得,函数f =sin (0)的图象过点 ,于是有f =sin =sin ()=0(0),则=k,k Z,因此正数的最小值是1,故选C.,2.(2017贵阳检测)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0),其导数f (x)的图象如图所示,则f 的值为 ( ) A.2 B. C.- D.-,答案 D 依题意得f (x)=Acos(x+), 结合函数y=f (x)的图象可知,T= =4 =,=2. 又A=1,因此A= . 因为0, + ,且f =cos =-1, 所以 +=,= , 则f(x)= sin , 所以f = sin =- =- ,故选D.,考点三 三角函数的性质(高频考点) 命题点 1.研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性.,2.求三角函数的单调区间及最值.,3.利用三角函数的图象和性质研究方程根及参数的范围(值).,1.三角函数的单调区间 y=sin x的单调递增区间是 (kZ),单调递减区间是 (kZ);y=cos x的单调递增区间是2k-,2k(kZ), 单调递减区间是2k,2k+(kZ);y=tan x的单调递增区间是 (kZ).,2.三角函数的奇偶性与对称轴方程 y=Asin(x+),当=k(kZ)时为奇函数;当=k+ (kZ)时为偶函数; 对称轴方程可由x+=k+ (kZ)求得. y=Acos(x+),当=k+ (kZ)时为奇函数;当=k(kZ)时为偶函数; 对称轴方程可由x+=k(kZ)求得. y=Atan(x+),当=k(kZ)时为奇函数.,典型例题 (1)(2017课标全国,6,5分)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误 的是 ( ) A.f(x)的一个周期为-2 B.y=f(x)的图象关于直线x= 对称 C.f(x+)的一个零点为x= D.f(x)在 单调递减 (2)(2017贵州适应性考试)函数f(x)= cos2 - sin x- (x0,)的单调 递增区间为 ( ),A. B. C. D. (3)(2017太原模拟试题)已知函数f(x)=sin x- cos x(0)在(0,)上有 且只有两个零点,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D.,解析 (1)f(x)的最小正周期为2,易知A正确;f =cos =cos 3 =-1,为f(x)的最小值,故B正确;f(x+)=cos =-cos ,f =-cos =-cos =0,故C正确;由于f =cos =cos =-1,为f(x)的最小值,故f(x)在 上不单调,故D错误. (2)f(x)= cos2 - sin x- = - sin x= cos x- sin x=cos ,由2k-x+ 2k(kZ),得2k- x2k- (kZ),又x 0,所以当k=1时,f(x)的单调递增区间为 ,故选C.,答案 (1)D (2)C (3)B,(3)易得f(x)=2sin ,设t=x- ,因为00)的单 调性的一般思路是令x+=z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数 的单调性求解. (2)三角函数周期性的求法:,函数y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的最小正周期T= .应特别注意y= |Asin(x+)|的周期T= .,跟踪集训 1.(2016课标全国,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos 的最大值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 B f(x)=cos 2x+6cos =cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-2 + , 又sin x-1,1,当sin x=1时,f(x)取得最大值5.,2.(2017石家庄教学质量检测(二)已知函数f(x)=sin , f (x)是f(x) 的导函数,则函数y=2f(x)+f (x)的一个单调递减区间是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意,得f (x)=2cos ,所以y=2f(x)+f (x)=2sin +2cos =2 sin =2 sin .由2k+ 2x+ 2k+ (kZ),得k+ xk+ (kZ),所以函数y=2f(x)+f (x)的一个单调递减区间为 ,故选A.,3.(2017合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sin x-cos x(0)的 最小正周期为. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程; (2)讨论函数f(x)在 上的单调性.,解析 (1)f(x)=sin x-cos x= sin ,且T=,=2,于是f(x)= sin .令2x- =k+ (kZ),得x= + (kZ), 即函数f(x)图象的对称轴方程为x= + (kZ). (2)令2k- 2x- 2k+ (kZ),得函数f(x)的单调递增区间为 (kZ).注意到x ,所以令k=0,得函数f(x)在 上的单调递增区间为 ;同理,其单调递减区间为 .,1.若sin =- ,且 ,则sin(-2)= ( ) A. B. C.- D.-,随堂检测,答案 D 由sin =cos =- ,且 ,得sin = ,所以sin(-2) =sin 2=2sin cos =- ,故选D.,2.(2017福建普通高中质量检测)若将函数y=3cos 的图象向右平 移 个单位长度,则平移后图象的一个对称中心是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 将函数y=3cos 的图象向右平移 个单位长度,得y=3 cos =3cos 的图象,由2x+ =k+ (kZ),得x= + (kZ),当k=0时,x= ,所以平移后图象的一个对称中心是 ,故 选A.,3.(2017陕西高三教学质量检测试题(一)已知函数f(x)=sin(x+) 的图象上的一个最高点与相邻的一个最低点的距离 为2 ,且过点 ,则函数f(x)= .,答案 sin,解析 依题意得 =2 , 则 =2,即= , 所以f(x)=sin ,由于该函数图象过点 ,因此sin =- ,即 sin = ,而- ,故= ,所以f(x)=sin .,4.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 sin xcos x(xR). (1)求f 的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,解析 (1)由sin = ,cos =- , f = - -2 ,得f =2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x- sin 2x=-2sin .所以f(x)的最小正周期是. 由正弦函数的性质得 +2k2x+ +2k,kZ, 解得 +kx +k,kZ.,所以, f(x)的单调递增区间是 (kZ).,
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