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文数 课标版,第四节 用样本估计总体,1.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(一组数据中 最大值 与 最小值 的差). (2)决定 组距 与 组数 . (3)将数据 分组 . (4)列 频率分布表 .,教材研读,(5)画 频率分布直方图 .,2.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ,就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线:一般地,随着样本容量的增加,作频率分布直方图时 所分组数 增加, 组距 减小,相应的频率分布折线图就会越 来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.,3.茎叶图的优点 茎叶图的优点是可以 保留 原始数据,而且可以 随时 记录.,4.样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论. () (2)频率分布直方图中,小矩形的高表示频率. (),(3)在频率分布直方图中,众数左边和右边的小长方形的面积和是相等 的. () (4)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大. (),1.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图 所示,则该校女教师的人数为 ( ) A.93 B.123 C.137 D.167 答案 C 初中部女教师人数为11070%=77, 高中部女教师人数为150(1-60%)=60, 所以该校女教师的人数为77+60=137.故选C.,2.10名工人某天生产同一种零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17, 17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有 ( ) A.abc B.bca C.cab D.cba 答案 D a= =14.7,因为这组数据 中,17出现的次数最多,故c=17.这些数据由小到大排列依次是10,12,14, 14,15,15,16,17,17,17,因此b=15,所以cba.,3.把样本容量为20的数据分组,分组区间与频数如下:10,20),2;20,30),3; 30,40),4;40,50),5;50,60),4;60,70,2,则在区间10,50)上的数据的频率 是 ( ) A.0.05 B.0.25 C.0.5 D.0.7 答案 D 由题意知,在区间10,50)上的数据的频数是2+3+4+5=14,故 其频率为 =0.7.,4.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”, 并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检 测后所作的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 ( ),A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆 答案 B 从频率分布直方图可知,车速大于或等于70 km/h的频率为 0.0210=0.2,而样本容量为200,所以被处罚的汽车约有2000.2=40辆.,5.(2016江苏,4,5分)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差 是 . 答案 0.1 解析 = =5.1, 则该组数据的方差 s2= =0.1.,考点一 频率分布直方图 典例1 (2016北京,17,13分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水 量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按1 0元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用 水量数据,整理得到如下频率分布直方图:,考点突破,(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用 水价格为4元/立方米,w至少定为多少? (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计 该市居民该月的人均水费. 解析 (1)由用水量的频率分布直方图知, 该市居民该月用水量在区间0.5,1,(1,1.5,(1.5,2,(2,2.5,(2.5,3内的频 率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15. 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的 居民占45%. 依题意,w至少定为3. (2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分,组与频率分布表如下:,根据题意,该市居民该月的人均水费估计为: 40.1+60.15+80.2+100.25+120.15+170.05+220.05+270.05= 10.5(元).,方法技巧,1.绘制频率分布直方图时需注意: (1)制作好频率分布表后,可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表 是否正确; (2)频率分布直方图的纵坐标是 ,而不是频率.,2.由频率分布直方图进行相关计算时,需掌握下列关系式: (1) 组距=频率; (2) =频率,此关系式的变形为 =样本容量,样本容量频率= 频数.,1-1 (2016山东,3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位: 小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5, 30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据 直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( ),A.56 B.60 C.120 D.140 答案 D 由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5 小时的频率为1-(0.02+0.10)2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间 不少于22.5小时的人数为2000.7=140,故选D.,1-2 (2015湖北,14,5分)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年 度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内, 其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的a= ; (2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 .,考点二 茎叶图 典例2 (1)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示, 则这组数据的中位数和平均数分别是 ( ) A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92 (2)(2014课标,19,12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机 访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市 民的评价越高),绘制茎叶图如下:,分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率; 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.,答案 (1)A 解析 (1)将这组数据从小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96. 故中位数为 =91.5. 平均数为91+ =91.5. (2)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25,26位的是75,75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的 中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第,25,26位的是66,68,故样本中位数为 =67,所以该市的市民对乙部门 评分的中位数的估计值是67. 由所给茎叶图知,50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别 为 =0.1, =0.16,故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率 的估计值分别为0.1,0.16. 由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分 的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于 对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较 为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.,规律总结 (1)茎叶图的绘制需注意:“叶”的每个位置上只有一个数字,而 “茎”的每个位置上的数的位数一般不需要统一;重复出现的数据要 重复记录,不能遗漏. (2)茎叶图通常用来记录两位数的数据,可以用来分析单组数据,也可以 用来比较两组数据.通过茎叶图可以确定数据的中位数,数据大致集中 在哪块茎,数据分布是否均匀等.,2-1 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地 选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间 后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?,解析 (1)设A药观测数据的平均数为 ,B药观测数据的平均数为 ,由 观测结果可得 = (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+ 2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3, = (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1 +2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得 ,因此可看出A药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:,从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有 的叶集中在茎2,3上, 而B药疗效的试验结果有 的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效 更好.,考点三 样本的数字特征 典例3 (2016四川,16,12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制 定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年1 00位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5),0.5,1), 4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值; (2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说 明理由; (3)估计居民月均用水量的中位数.,解析 (1)由频率分布直方图,可知:月均用水量在0,0.5)的频率为0.08 0.5=0.04. 同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5)等组的频率分别为0.08, 0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,解得a=0.30. (2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02 =0.12,由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的 人数为300 0000.12=36 000. (3)设中位数为x吨. 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5, 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5, 所以2x2.5. 由0.50(x-2)=0.5-0.48, 解得x=2.04.,故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.,规律总结 频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的; (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个 小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.,3-1 (2015山东,6,5分)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选 取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎 叶图. 考虑以下结论: 甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; 甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温; 甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差; 甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.,其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 ( ) A. B. C. D. 答案 B 由茎叶图中的数据通过计算求得 =29, =30,s甲= ,s乙= , s乙,故正确.选B.,3-2 (2015广东,17,12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.,(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段 里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;,(2)计算(1)中样本的均值 和方差s2; (3)36名工人中年龄在 -s与 +s之间有多少人?所占的百分比是多少(精 确到0.01%)? 解析 (1)由系统抽样,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工 人. 因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽 样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)均值 = =40;,方差s2= (44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2 +(43-40)2+(37-40)2= . (3)由(2)可知s= .由题意,年龄在 内的工人共有23人,所 占的百分比为 100%63.89%.,
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