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文数 课标版,第一节 随机事件的概率,1.事件的分类,教材研读,2.频率和概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验 中事件A出现的 次数 nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例 fn(A)= 为事件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的 频率fn(A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为 事件A的概率,简称为A的概率.,3.事件的关系与运算,4.概率的几个基本性质 (1)概率的范围为 0,1 . (2)必然事件的概率为 1 . (3)不可能事件的概率为 0 . (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(AB)= P(A)+P(B) . (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件,P(AB)= 1 , P(A)= 1-P(B) .,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的. () (2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. () (3)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.() (4)两互斥事件的概率和为1. () (5)若P(A)+P(B)=1,则事件A与B一定是对立事件. (),1.下列事件中,随机事件的个数为 ( ) 物体在只受重力的作用下会自由下落; 方程x2+2x+8=0有两个实根; 某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次; 下周六会下雨. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 为必然事件,为不可能事件,为随机事件.,2.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件 “至少有一名女生”与事件“全是男生” ( ) A.是互斥事件,不是对立事件 B.是对立事件,不是互斥事件 C.既是互斥事件,也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件 答案 C “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两个女生”两 种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故 “至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件,故 选C.,3.给出下面三个命题: 设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是 次品; 做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是 ; 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 其中真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A ,从中任取100件,可能有10件次品,并不是必有10件次品,故 是假命题. ,抛硬币时出现正面的概率是 ,不是 ,故是假命题.,频率和概率不是一回事,故是假命题,故选A.,4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为 0.2,该同学的身高在160,175(单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高 超过175 cm的概率为 ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 答案 B 由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过175 cm的 概率为1-(0.2+0.5)=0.3.,5.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则乙不输的 概率是 . 答案 解析 乙不输即为两人和棋或乙获胜,因此乙不输的概率为 + = .,考点一 随机事件的频率与概率 典例1 (2016课标全国,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继 续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出 险次数的关联如下:,考点突破,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下 统计表:,(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A) 的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保 费的160%”.求P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估,计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得,调查的200名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.,规律总结 频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性的 大小,但无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小.而从大量重复试 验中发现,随着试验次数的增多,事件发生的频率就会稳定于某一固定 的值,该值就是概率.,1-1 (2015陕西,19,12分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气 情况进行统计,结果如下:,(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天 的概率; (2)西安市某学校拟从4月份的一个 开始举行连续2天的运动会,估 计运动会期间 的概率.,(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如:1日与2日,2日与3日等).这 样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的 有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为 .以频率估计概率,运动会期 间不下雨的概率为 .,解析 (1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,从 4月份任选一天,西安市在该天不下雨的概率为 .,考点二 互斥事件与对立事件的概率 典例2 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工 随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.,已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概 率) 解析 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾 客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为 =1.9(分钟). (2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次,购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”. 将频率视为概率得 P(A1)= = ,P(A2)= = , P(A3)= = . 因为A=A1A2A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以 P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) = + + = . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 .,方法技巧 求复杂事件的概率一般有两种方法:一是直接法,将所求事件的概率分 解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立 事件的概率,再由P(A)=1-P( )求解.当题目涉及“至多”“至少”时,多 考虑间接法.,2-1 从1,2,3,7这7个数中任取两个数,其中: 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; 至少有一个是奇数和两个都是奇数; 至少有一个是奇数和两个都是偶数; 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是 ( ) A. B. C. D. 答案 C ,“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从 1,2,3,7这7个数中任取两个数,根据取到数的奇偶性知共有三种情况: “两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是 奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.,2-2 在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件 “2张全是移动卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( ) A.至多有1张移动卡 B.恰有1张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有1张移动卡 答案 A “至多有1张移动卡”包含“1张是移动卡,1张是联通卡” “2张全是联通卡”两种情况,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故 选A.,2-3 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张 奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券 中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券中奖的概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 解析 (1)P(A)= , P(B)= = , P(C)= = . (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.,设“1张奖券中奖”为事件M,则M=ABC. A、B、C两两互斥,P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)= = . 故1张奖券中奖的概率为 . (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, P(N)=1-P(AB)=1-P(A)+P(B)=1- = . 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .,
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