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文数 课标版,第四节 数列求和,1.求数列的前n项和的方法 (1)公式法 (i)等差数列的前n项和公式 Sn= = na1+ .,教材研读,(ii)等比数列的前n项和公式 当q=1时,Sn= na1 ; 当q1时,Sn= = . (2)分组转化法 把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列 之和,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法,把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式 的推导过程的推广. (5)错位相减法 适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,错 位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法,若一个数列的前n项和中,可两两合并求解,这种方法称为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+22-12 =(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.,2.常见的裂项公式 (1) = - ; (2) = ; (3) = - .,较为合理. () (2)如果数列an为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn= . () (3)求Sn=a+2a2+3a3+nan时只要把等号两边同时乘a即可根据错位相 减法求得. () (4)如果数列an是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整 数). (),判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)如果已知等差数列的通项公式,那么在求其前n项和时使用公式Sn=,1.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn= ( ),A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1,C.2n+1+n2-2 D.2n+n2-2,答案 C Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5 +(2n-1)= + =2n+1-2+n2.故选C.,2.已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22- S31的值是 ( ) A.13 B.-76 C.46 D.76,3.数列 的前n项之和为 ,则n= . 答案 99 解析 由题意得 + + + = - + - + - + - =1- = ,令 = ,解得n=99.,4.已知数列an的前n项和为Sn,且an=n2n,则Sn= . 答案 (n-1)2n+1+2 解析 an=n2n, Sn=121+222+323+n2n. 2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1. -,得 -Sn=2+22+23+2n-n2n+1,= -n2n+1=2n+1-2-n2n+1,=(1-n)2n+1-2. Sn=(n-1)2n+1+2.,考点一 错位相减法求和 典例1 (2016山东,19,12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等 差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式; (2)令cn= .求数列cn的前n项和Tn. 解析 (1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5, 当n=1时,a1=S1=11,符合上式, 所以an=6n+5. 设数列bn的公差为d. 由 即,考点突破,可解得 所以bn=3n+1. (2)由(1)知cn= =3(n+1)2n+1. 由Tn=c1+c2+cn, 得Tn=3222+323+(n+1)2n+1, 2Tn=3223+324+(n+1)2n+2, 两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2 =3 =-3n2n+2. 所以Tn=3n2n+2.,方法技巧 (1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前 n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列bn的 公比,然后作差求解; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.,1-1 (2016吉林长春外国语学校期末)已知数列an是公差大于零的等 差数列,数列bn为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn. 解析 (1)设数列an的公差为d(d0),数列bn的公比为q, 由已知得 解得 或,d0,d=2,q=2, an=1+2(n-1)=2n-1,bn=22n-1=2n, 即an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*). (2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n, Tn=12+322+523+(2n-1)2n, 2Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1,考点二 裂项相消法求和 典例2 (2015课标,17,12分)Sn为数列an的前n项和.已知an0, +2an= 4Sn+3. (1)求an的通项公式; (2)设bn= ,求数列bn的前n项和. 解析 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3. 可得 - +2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an). 由an0,可得an+1-an=2. 又 +2a1=4a1+3, 解得a1=-1(舍去)或a1=3.,所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1. (2)由an=2n+1可知 bn= = = . 设数列bn的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+bn = = .,易错警示 利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一 项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前 面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.,2-1 数列an的前n项和为Sn=2n+1-2,数列bn是首项为a1,公差为d(d0) 的等差数列,且b1,b3,b9成等比数列. (1)求数列an与bn的通项公式; (2)若cn= (nN*),求数列cn的前n项和Tn.,又a1=S1=21+1-2=2=21,也满足上式, 所以数列an的通项公式为an=2n, 由b1,b3,b9成等比数列,得(2+2d)2=2(2+8d), 解得d=0(舍去)或d=2, 所以数列bn的通项公式为bn=2n. (2)由(1)得cn= = , 所以数列cn的前n项和Tn= + + + =1- + - + + - =1- = .,解析 (1)当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,考点三 分组转化法求和 典例3 (2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn= +n,求b1+b2+b3+b10的值. 解析 (1)设等差数列an的公差为d. 由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得bn=2n+n. 所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10) =(2+22+23+210)+(1+2+3+10),= +,=(211-2)+55 =211+53=2 101.,规律总结 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组转化法求an 的前n项和. (2)对于通项公式为an= 的数列,其中bn,cn是等比数列或 等差数列,可采用分组转化法求和. (3)采用分组转化法求和是将所求数列和分解转化为若干个可求和的新 数列的和或差,从而求得原数列的和,这就需要通过对数列通项结构特 点进行分析研究,将数列的通项合理分解转化.,3-1 (2017山东临沂期中)设数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a3+ 1,a4成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足anbn= -1,求数列bn的前n项和Tn. 解析 (1)数列an的前n项和Sn=2an-a1, 当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, an=2an-1(n2). 数列an是公比为2的等比数列. a1,a3+1,a4成等差数列, 2(a3+1)=a4+a1, 2a3+2=2a3+a1,3-2 已知数列an的通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,求其 前n项和Sn.,=3n- ln 3-ln 2-1. 综上所述,Sn=,
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