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文数 课标版,第三节 等比数列及其前n项和,1.等比数列的定义 如果一个数列从 第二项 起,每一项与前一项的比等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数 叫做等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示,定义的 表达式为 =q(nN*).,教材研读,2.等比数列的通项公式 等比数列an的通项公式为an= a1qn-1 .,3.等比中项 若 G2=ab(ab0) ,那么G叫做a与b的等比中项.,4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am qn-m (n,mN*). (2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 akal=aman . (3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0), , ,anbn, 仍是等比数列.,5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn= na1 ; 当q1时,Sn= = .,6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 qn .,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列.() (2)G为a,b的等比中项G2=ab. () (3)如果数列an为等比数列,bn=a2n-1+a2n是等差数列. () (4)如果数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列. () (5)数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn= . (),1.已知an是等比数列,a2=2,a5= ,则公比q=( ) A.- B.-2 C.2 D. 答案 D 由通项公式及已知得a1q=2,a1q4= ,由得q3= ,解得 q= .故选D.,2.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an= ( ) A.4 B.4 C.4 D.4 答案 B 由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以q= ,则 an=4 .,3.在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= ( ) A.10 B.25 C.50 D.75 答案 B a7a12=5,a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.,4.已知在等比数列an中,a2= ,a3= ,ak= ,则k= . 答案 7 解析 设an的公比为q.a2= ,a3= ,q= = ,a1=1,由ak=a1 = ,解得k=7.,5.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则 = . 答案 -11 解析 设数列an的公比为q,则8a1q+a1q4=0,又a10,q0,q=-2, = = =-11.,考点一 等比数列的基本运算 典例1 (1)(2016山西太原一模)已知等比数列an单调递减,若a3=1,a2+a4 = ,则a1= ( ) A.2 B.4 C. D.2 (2)在等比数列an中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为 ( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或 (3)(2015课标,13,5分)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和. 若Sn=126,则n= . 答案 (1)B (2)C (3)6,考点突破,方法指导 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”. (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论, 当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时,an的前n项和Sn= = .,1-1 已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,则 = ( ) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1 答案 D 设等比数列an的公比为q, 由可得 =2, q= ,代入解得a1=2,an=2 = ,Sn= =4 , = =2n-1,选D.,1-2 设数列an的前n项和Sn满足6Sn+1=9an(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn= ,求数列bn的前n项和Tn. 解析 (1)当n=1时,由6a1+1=9a1, 得a1= . 当n2时,由6Sn+1=9an, 得6Sn-1+1=9an-1, 两式相减得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1), 即6an=9(an-an-1), an=3an-1.,数列an是首项为 ,公比为3的等比数列,其通项公式为an= 3n-1=3n-2. (2)bn= = , bn是首项为3,公比为 的等比数列, Tn=b1+b2+bn= = .,考点二 等比数列的性质及应用 典例2 (1)(2016广东广州综合测试)已知数列an为等比数列,若a4+a6= 10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为 ( ) A.10 B.20 C.100 D.200 (2)(2016吉林长春调研)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an -1anan+1=324,则n= . (3)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3= . 答案 (1)C (2)14 (3)34 解析 (1)a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9= +2a4a6+ =(a4+a6)2=102=100, 故选C. (2)设数列an的公比为q,由a1a2a3=4= q3与a4a5a6=12= q12可得q9=3,由,于an-1anan+1= q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,解得n=14. (3)由题意可知q-1,故由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列, 于是(S6-S3)2=S3(S9-S6), 将S6= S3代入可得 = .,易错警示 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别 是“若m+n=p+q(m、n、p、qN*),则aman=apaq”,可以减少运算量,提 高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提,有时需 要进行适当变形.此外,解题时注意对设而不求思想的运用.,2-1 已知x,y,zR,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为 ( ) A.-3 B.3 C.-3 D.3 答案 C 由题意知y2=3,y= , 又y与-1,-3符号相同, y=- ,又y2=xz, 所以xyz=y3=-3 .,考点三 等比数列的判定与证明 典例3 设数列an的前n项和为Sn,nN*.已知a1=1,a2= ,a3= ,且当n2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值; (2)证明: 为等比数列. 解析 (1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1, 即4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1, 整理得a4= , 因为a2= ,a3= ,所以a4= . (2)证明:当n2时,有4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1, 即4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1, 所以4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1), 即an+2=an+1- an(n2). 经检验,当n=1时,上式成立. 因为 = = = ,为常数,且a2- a1=1, 所以数列 是以1为首项, 为公比的等比数列.,方法技巧 证明数列an(各项不为零)是等比数列的常用方法:一是定义法,证明 =q(n2,q为非零常数);二是等比中项法,证明 =an-1an+1(n2).若判 定一个数列不是等比数列,则可以举反例,也可以用反证法.,3-1 在数列an中,“an=2an-1,n=2,3,4,”是“an是公比为2的等比数 列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 因为当an=0时,也有an=2an-1,n=2,3,4,但an是等差数列,不 是等比数列,因此充分性不成立.当an是公比为2的等比数列时,有 = 2,n=2,3,4,即an=2an-1,n=2,3,4,所以必要性成立.,3-2 设数列an的前n项和为Sn,数列bn中,b1=a1,bn=an-an-1(n2).若an+ Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:数列cn是等比数列; (2)求数列bn的通项公式. 解析 (1)证明:由an+Sn=n, 得an-1+Sn-1=n-1(n2), 两式相减得2an-an-1=1(n2),即2(an-1)=an-1-1(n2), 所以cn= cn-1(n2). 又由 解得a1= ,所以c1=a1-1=- 0, 所以数列cn是等比数列. (2)由(1)知cn= =- , 所以an=cn+1=1- , 所以bn=an-an-1= (n2). 又b1=a1= 适合上式, 所以bn= .,
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