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文数 课标版,第二节 一元二次不等式及其解法,1.“三个二次”的关系,教材研读,2.(x-a)(x-b)0和(x-a)(x-b)0型不等式的解集,口诀:大于取两边,小于取中间.,(5)一元二次不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a0且=b2-4ac 0. (),1.不等式x2-3x+20的解集为 ( ) A.(-,-2)(-1,+) B.(-2,-1) C.(-,1)(2,+) D.(1,2),答案 D 将x2-3x+20化为(x-1)(x-2)0, 解得1x2.,2.若不等式mx2+2x+10的解集为(-,-2) ,则m= ( ) A. B. C. D. 答案 C 由已知可得-2,- 为方程mx2+2x+1=0的两根,故 解得m= ,故选C.,3.不等式 0的解集为 ( ) A.x|x1或x3 B.x|1x3 C.x|1x3 D.x|1x3 答案 C 由 0,得 解得1x3.,4.已知f(x)=ax2-x-c,若不等式f(x)0的解集为x|-2x1,则函数y=f(-x)的 图象为 ( ) 答案 B 由题意知ax2-x-c=0(a0)的两根为-2,1.由根与系数的关系得 =-2+1,- =(-2)1,得a=-1,c=-2,f(x)=-x2-x+2(经检验知满足题意),f(- x)=-x2+x+2,其图象开口向下,顶点为 .故选B.,5.若集合A=x|ax2-ax+10=,则实数a的取值集合是 ( ) A.a|0a4 B.a|0a4 C.a|0a4 D.a|0a4,答案 D a=0时,满足条件;a0时,由题意知a0且=a2-4a0,得0a 4,所以0a4,故选D.,考点一 一元二次不等式的解法 典例1 解下列不等式: (1)19x-3x26;(2)8x-116x2; (3)0x2-x-24;(4)ax2-(a+1)x+10.,考点突破,(2)8x-116x216x2-8x+10(4x-1)20, 对于任意的xR,原不等式都成立, 原不等式的解集为R. (3)原不等式等价于 利用数轴(如图)可知,原不等式的解集为x|-2x1;,当a0时,原不等式可变形为a (x-1)0, x1. 若a0,则 (x-1)1时,原不等式的解集为 ; 当a=1时,原不等式的解集为; 当0a1时,原不等式的解集为 . 综上,当a0时,原不等式的解集为 ;,当a=0时,原不等式的解集为x|x1; 当01时,原不等式的解集为 .,方法指导,1.解一元二次不等式的方法和步骤 (1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的形式. (2)判:计算对应方程的判别式. (3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实 根. (4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.,2.解含参数的一元二次不等式时,要把握好分类讨论的层次,一般按下面 次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行讨论;其次根据相应一 元二次方程的根是否存在,即的符号进行讨论;最后在根存在时,根据 根的大小进行讨论.,1-1 不等式 2的解集是 ( ) A. B. C. (1,3 D. (1,3 答案 D 不等式可化为 0, 即 0, 解得- x1或1x3,故选D.,1-2 已知函数f(x)= 则不等式f(x)-x2的解集是 . 答案 解析 当x0时,原不等式等价于2x2+1-x2, - x0; 当x0时,原不等式等价于-2x-x2,x0. 综上所述,x .,考点二 一元二次不等式恒成立问题 命题角度一 形如f(x)0(xR)恒成立,求参数范围 典例2 已知不等式mx2-2x-m+10.是否存在实数m,使对所有的实数x不 等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.,解析 不存在.理由:设f(x)=mx2-2x-m+1.,不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下 方.,当m=0时, f(x)=1-2x,令1-2x ,不满足题意;,当m0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解, 即 此不等式组无解. 综上,不存在满足题意的m.,典例3 设函数f(x)=mx2-mx-1(m0),若对于x1,3, f(x)0时,g(x)在1,3上是增函数. 所以g(x)max=g(3)=7m-60. 所以m ,则0m . 当m0时,g(x)在1,3上是减函数,命题角度二 形如f(x)0(xa,b)恒成立,求参数范围,所以g(x)max=g(1)=m-60, 又因为m(x2-x+1)-60,所以m . 因为y= = 在1,3上的最小值为 , 所以只需m 即可. 又因为m0,所以m的取值范围是 .,典例4 对任意m-1,1,函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的 取值范围.,命题角度三 形如f(x)0(参数ma,b)恒成立,求x的范围,方法技巧 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数,一般地,知道谁的 范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在 给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给 定的区间上全部在x轴下方.,2-1 (2016甘肃白银会宁一中月考)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切x R恒成立,则实数a的取值范围是 . 答案 (-2,2 解析 当a-2=0,即a=2时,不等式即为-40,对一切xR恒成立, 当a2时,则有 解得-2a2. 综上,可得实数a的取值范围是(-2,2.,2-2 已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则 实数m的取值范围是 . 答案 解析 要满足f(x)=x2+mx-10对于任意xm,m+1恒成立, 只需 即 解得- m0.,
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