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文数 课标版,第四节 基本不等式及其应用,1.基本不等式 (1)基本不等式 成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时等号成立. (3)其中 称为正数a,b的算术平均数, 称为正数a,b,教材研读,的几何平均数.,2.几个重要的不等式 (1)a2+b2 2ab (a,bR),当且仅当a=b时取等号. (2)ab (a,bR),当且仅当a=b时取等号. (3) (a,bR),当且仅当a=b时取等号. (4) + 2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.,3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y有最 小 值,是 2 .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当 x=y 时,xy有最 大 值,是 .(简记:和定积最大),判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)当a0,b0时,a+b2 . (),(2)两个不等式a2+b22ab与 成立的条件是相同的. () (3)(a+b)24ab(a,bR). () (4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. () (5)函数y=x+ 的最小值是2. () (6)x0且y0是 + 2的充要条件. (),1.下列不等式中正确的是 ( ) A.若aR,则a2+96a B.若a,bR,则 2 C.若a,b0,则2lg lg a+lg b D.若xR,则x2+ 1 答案 C a0,b0, . 2lg 2lg =lg ab=lg a+lg b.,2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为 ( ) A.80 B.77 C.81 D.82 答案 C x0,y0,x+y=18, 18=x+y2 ,即 9, xy81.故xy的最大值为81.,3.已知x,y0且x+4y=1,则 + 的最小值为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 答案 B x+4y=1(x,y0), + = + =5+ 5+2 =5+4=9 当且仅当x=2y= 时,取等号 .,4.已知f(x)=x+ -2(x0),则f(x)有 ( ) A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-4 D.最小值-4,答案 C x0,f(x)=- -2-2-2=-4,当且仅当-x= ,即x=- 1时取等号.f(x)有最大值-4.,5.已知x0, y=4x-2+ =- +3-2+3=1, 当且仅当5-4x= ,即x=1时,等号成立, 故当x=1时,ymax=1.,考点一 利用基本不等式求最值 典例1 (1)已知00,b0,a+b=1,则 + 的最小值为 . (3)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为 . 答案 (1)B (2)4 (3)2 -3,考点突破,解析 (1)0b,b0,a+b=1, + = + =2+ + 2+2 =4, 即 + 的最小值为4, 当且仅当a=b= 时等号成立. (3)因为xy+2x+y=4,所以x= .,由x= 0, 得-20, 所以0y4,所以x+y= +y= +(y+2)-32 -3, 当且仅当 =y+2(0y4), 即y= -2时取等号.,方法技巧 (1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为 定值,主要有两种思路:对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求 解.对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过 添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还 有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.,1-1 已知函数y=x-4+ (x-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于 ( ) A.-3 B.2 C.3 D.8 答案 C y=x-4+ =x+1+ -5,因为x-1,所以x+10, 0,所以由 基本不等式,得y=x+1+ -52 -5=1,当且仅当x+1= ,即 x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.,1-2 实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是 . 答案 6 解析 利用基本不等式可得 3x+9y=3x+32y2 =2 . x+2y=2,3x+9y2 =6,当且仅当3x=32y,即x=1,y= 时取等号.,1-3 设x-1,则函数y= 的最小值为 . 答案 9 解析 因为x-1,所以x+10, 所以y= = = =x+1+ +52 +5=9, 当且仅当x+1= ,即x=1时,等号成立, 故函数y= 的最小值为9.,考点二 基本不等式的实际应用 典例2 (1)某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800 元,若每批生产x件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用 为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批 应生产产品 ( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 (2)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底 面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总 造价是 ( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元,答案 (1)B (2)C 解析 (1)设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是 元,仓 储费用是 元,总的费用是 元,由基本不等式得 + 2 =20,当且仅当 = ,即x=80时取等号. (2)设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为T元,则V=xy1=4xy= 4. T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202 =80+204=160(当且 仅当x=y时取等号). 故该容器的最低总造价是160元.,易错警示 对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表 示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不 等式求最值.,2-1 某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10 元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以 后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年 增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)= (k0,k为 常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元. (1)求k的值及f(n)的表达式; (2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元? 解析 (1)当n=0时,由题意得k=8. 从而f(n)=(100+10n) -100n =1 000-80 ,nN.,(2)由(1)知f(n)=1 000-80 1 000-802 =520, 当且仅当 = ,即n=8时取等号. 所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元.,考点三 含参问题 典例3 (1)已知不等式(x+y) 9对任意的正实数x,y恒成立,则正 实数a的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)设xyz,且 + (nN)恒成立,则n的最大值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 (1)B (2)C 解析 (1)(x+y) =1+a+ + 1+a+2 =( +1)2(x,y,a0),当且仅 当y= x时取等号,所以(x+y) 的最小值为( +1)2,于是( +1)2,9恒成立.所以a4,故选B. (2)因为xyz,所以x-y0,y-z0,x-z0,不等式 + 恒成立等 价于n(x-z) 恒成立.因为x-z=(x-y)+(y-z)2 , + 2 ,所以(x-z) 2 2 =4(当且仅当x-y=y-z时等号成立), 则要使n(x-z) 恒成立,只需使n4(nN),故n的最大值为 4.,1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正各项都是 正数;二定和或积为定值;三相等等号能取得”,这三个条件缺 一不可.,易错警示,2.若无明显“定值”,则常用配凑的方法,使和为定值或积为定值.当多 次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注 意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理 问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转 换是否有误的一种方法.,3-1 已知a0,b0,若不等式 + 恒成立,则m的最大值为 ( ) A.9 B.12 C.18 D.24 答案 B + ,且a0,b0, m (a+3b)=6+ + , 又 + 2 =6 当且仅当 = 时等号成立 , m12,故m的最大值为12.,3-2 已知lg a+lg b=0,则满足不等式 + 的实数的最小值是 . 答案 1 解析 由lg a+lg b=0得ab=1(a0且b0),则 + = + = =1(当且仅当a=b=1时等号成立),所以1,即实数的最小 值是1.,
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