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文数 课标版,第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词,1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非 叫做逻辑联结词. (2)命题pq、pq、p的真假判断,教材研读,2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 词,用“ ”表示;含有全称量词的命题叫做全称命题. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存 在量词,用“ ”表示;含有存在量词的命题叫做特称命题.,3.含有一个量词的命题的否定,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)命题pq为假命题,则命题p、q都是假命题. () (2)命题p和p不可能都是真命题. () (3)若命题p、q至少有一个是真命题,则pq是真命题. () (4)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词. () (5)x0M,p(x0)与xM,p(x)的真假性相反. (),答案 D 选项A中, x0 ,与x0Z矛盾;选项B中,x0=- ,与x0Z矛盾; 选项C中,x=1,与xR矛盾;选项D中,由=1-8=-70可知D正确.,答案 C 全称命题的否定为特称命题.命题p的否定为xR,2x2-1 0,故选C.,3.已知命题p:x0R, =1,则p是 ( ) A.xR,2x1 B.xR,2x1 C.x0R, 1 D.x0R, 1 答案 A 命题p:x0R, =1的否定为p:xR,2x1,故选A.,4.命题p:若sin xsin y,则xy;命题q:x2+y22xy,下列命题为假命题的是 ( ) A.p或q B.p且q C.q D.p 答案 B 取x= ,y= ,可知命题p是假命题;由(x-y)20恒成立,可知命 题q是真命题,故p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题,故选B.,5.已知命题p:若xy,则-xy,则x2y2.在命题pq;pq; p(q);(p)q中,真命题是 ( ) A. B. C. D. 答案 C 依题意可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则p为假命题, q为真命题. 由真值表可知pq为假命题,pq为真命题,p(q)为真命题,(p)q为 假命题.,考点一 全称命题与特称命题的真假判断 典例1 (1)下列命题中的假命题是 ( ) A.xR,2x-10 B.xN*,(x-1)20 C.xR,lg x0 B.,R,sin(+)sin +sin C.xR,x2-x+1=0 D.,R,sin(+)=cos +cos 答案 (1)B (2)D 解析 (1)易知A正确;对于B,当x=1时,(x-1)2=0,错误;对于C,当x(0,1)时,考点突破,lg x01,正确;对于D,xR,tan x=2,正确. (2)因为x2-x-1= - ,所以A是假命题. 当=0时,有sin(+)=sin +sin , 所以B是假命题. x2-x+1= + , 所以C是假命题. 当= 时, 有sin(+)=cos +cos , 所以D是真命题,故选D.,方法技巧 全称命题、特称命题的真假判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验 证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x= x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0, 使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.,1-1 下列命题: xR,x2+20; xN,x41; xZ,x31; xQ,x2=3; xR,x2-3x+2=0; xR,x2+1=0. 其中是真命题的序号为 .,考点二 含有一个量词的命题的否定 典例2 (1)(2015课标,3,5分)设命题p:nN,n22n,则p为 ( ) A.nN,n22n B.nN,n22n C.nN,n22n D.nN,n2=2n (2)命题“对任意xR,都有x2ln 2”的否定为 ( ) A.对任意xR,都有x2ln 2 B.不存在xR,都有x2ln 2 C.存在x0R,使得 ln 2 D.存在x0R,使得 ln 2,答案 (1)C (2)D 解析 (1)根据特称命题的否定为全称命题,知p:nN,n22n,故选C. (2)根据全称命题的否定为特称命题知命题“对任意xR,都有x2 ln 2”的否定为“存在x0R,使得 ln 2”.,易错警示 全称命题与特称命题的否定与非全称、非特称命题的否定有一定的区 别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在 量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而非全称、非特称命 题的否定只需直接否定结论即可.另外,对于省略量词的命题,应先挖掘 命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.,2-1 已知命题p:x ,cos xx,则p为 ( ) A.x ,cos xx B.x ,cos xx D.x ,cos xx 答案 C 原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题,而“cos x x”的否定是“cos xx”.故选C.,2-2 (2017福建南平模拟)设命题p:xR,x2+10,则p为 ( ) A.x0R, +10 B.x0R, +10 C.xR,x2+10 D.xR,x2+10 答案 A 根据全称命题的否定是特称命题得到命题p的否定p:x0 R, +10,故选A.,考点三 含逻辑联结词的命题的真假判断 典例3 (1)若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是1,+),命题q:函数y =x- 的单调递增区间是1,+),则 ( ) A.pq是真命题 B.pq是假命题 C.p是真命题 D.q是真命题 (2)已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函 数,则在命题q1:p1p2,q2:p1p2,q3:(p1)p2,q4:p1(p2)中,真命题是 ( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4,解析 (1)易知p是真命题;因为函数y=x- 的单调递增区间是(-,0)和 (0,+),所以q是假命题,所以pq为假命题,pq为真命题,p为假命题, q为真命题. (2)y=2-x= 在R上为减函数, y=-2-x=- 在R上为增函数, 又y=2x在R上为增函数, y=2x-2-x在R上为增函数,故p1是真命题. 易知y=2x+2-x在R上为减函数是错误的,故p2是假命题. q1:p1p2是真命题,q2:p1p1是假命题,q3:(p1)p2是假命题,q4:p1 (p2)是真命题,故选C.,答案 (1)D (2)C,方法技巧 (1)含逻辑联结词的命题真假判断的步骤: 确定复合命题的结构形式; 判断其中简单命题的真假; 根据真值表判断复合命题的真假. (2)含逻辑联结词的命题真假判断以真值表为标准.可简记为:pq,同真 则为真,其余为假;pq,有真则为真,其余为假;p与p的真假相反.,3-1 设a,b,c是非零向量.已知命题p:若ab=0,bc=0,则ac=0;命题q:若a b,bc,则ac.则下列命题中是真命题的是 ( ) A.pq B.pq C.(p)(q) D.p(q) 答案 A 由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以pq为真命 题.故选A.,3-2 已知命题p,q,“p为真”是“pq为假”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 因为p为真,所以p为假,那么pq为假,所以“p为真”是 “pq为假”的充分条件; 反过来,若“pq为假”,则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”,所 以由“pq为假”不能推出“p为真”. 综上可知,“p为真”是“pq为假”的充分不必要条件.,考点四 利用复合命题的真假求参数范围 典例4 已知命题p:关于x的不等式ax1(a0,且a1)的解集是x|x1(a0,且a1)的解集是x|x0的解集为R, 则 解得a .,因为pq为真命题,pq为假命题, 所以p和q一真一假, 即“p假q真”或“p真q假”, 故 或 解得a1或0a , 故实数a的取值范围是 1,+).,方法技巧 根据复合命题的真假求参数范围的步骤: (1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围; (2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定 只有一种情况); (3)最后由(2)的结果求出满足条件的参数的取值范围.,变式4-1 在本例命题p,q不变的条件下,若pq为真,求实数a的取值范 围. 解析 由pq为真知p,q都为真. a的取值范围为 .,变式4-2 在本例命题p,q不变的条件下,若命题q(pq)为真、p为 真,求实数a的取值范围. 解析 由命题q(pq)为真、p为真知p假、q真, 由p假得a0或a1; 由q真得a . 实数a的取值范围为1,+).,
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