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文数 课标版,第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做 真命题 ,判断为假的语句叫做 假命题 .,教材研读,3.充分条件与必要条件 (1)若pq,则p是q的 充分 条件,q是p的 必要 条件. (2)若pq,且q p,则p是q的 充分不必要条件 . (3)若p q,且qp,则p是q的 必要不充分条件 . (4)若pq,则p与q互为 充要条件 . (5)若p q,且q p,则p是q的 既不充分也不必要条件 .,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)“x2+2x-30”是命题. () (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”. () (3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有 一个为真. () (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. () (5)q不是p的必要条件时,“p q”成立. (),1.下列命题中的真命题为 ( ) A.若 = ,则x=y B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 = D.若xy,则x2y2 答案 A 取x=-1,排除B;取x=y=-1,排除C;取x=-2,y=-1,排除D.,2.命题“若ab,则a-1b-1”的否命题是 ( ) A.若ab,则a-1b-1 B.若ab,则a-1b,则a-1b-1”的否命题 应为“若ab,则a-1b-1”.,3.命题“若x2+y2=0,x,yR,则x=y=0”的逆否命题是 ( ) A.若xy0,x,yR,则x2+y2=0 B.若x=y0,x,yR,则x2+y20 C.若x0且y0,x,yR,则x2+y20 D.若x0或y0,x,yR,则x2+y20 答案 D 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0 且y=0,其否定是x0或y0.,4.在ABC中,“A30”是“sin A ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 当A=170时,sin 170=sin 10 3030,即必要性成立.,5.“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间2,+)上为增函数”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件,答案 B 函数f(x)=x2-4ax+3在区间2,+)上为增函数,应满足- =2a 2,即a1,所以“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间2,+)上为增函 数”的充分不必要条件,故选B.,6.设x、y是两个实数,则使“x、y中至少有一个大于1”成立的一个充分 条件是 ( ) A.x+y=2 B.x+y2 C.x2+y22 D.xy1 答案 B 因为命题“若x、y都小于或等于1,则x+y2”是真命题,所 以其逆否命题“若x+y2,则x、y中至少有一个大于1”是真命题,故x +y2x、y中至少有一个大于1,因而选B.,考点一 四种命题的相互关系及真假判断 典例1 (1)命题“若ABC有一个内角为 ,则ABC的三个内角按适 当的顺序排列后可构成等差数列”的逆命题 ( ) A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 (2)以下关于命题的说法正确的有 (填写所有正确命题的序号). “若log2a0,则函数f(x)=logax(a0,且a1)在其定义域内是减函数” 是真命题; 命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a0,则ab0”;,考点突破,易错警示 写一个命题的其他三种命题时,需注意: 对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; 若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.,1-2 给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象 限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 C 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为 “若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆 命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否 命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.,考点二 充分、必要条件的判断 典例2 (1)(2016天津,5,5分)设x0,yR,则“xy”是“x|y|”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2016四川,5,5分)设p:实数x,y满足x1且y1,q:实数x,y满足x+y2,则p 是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 (1)C (2)A 解析 (1)令x=1,y=-2,满足xy,但不满足x|y|;又x|y|y,xy成立,故 “xy”是“x|y|”的必要而不充分条件. (2)当x1且y1时,x+y2,所以充分性成立; 令x=-1,y=4,则x+y2,但x1,所以必要性不成立, 所以p是q的充分不必要条件.故选A.,1.利用定义判断.,方法技巧 判断充分、必要条件的三种方法:,2.利用集合间的包含关系判断.,3.利用等价转换法判断. 利用pq与qp,pq与qp的等价关系进行判断,对于条件或结 论是否定形式的命题一般运用等价法.,2-1 (2017黑龙江、吉林八校联考)若a0,b0,则“a+b1”是“ab 1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B a0,b0,a+b1,a+b2 1,解得ab ;当a0,b0,ab 1时,必有a1或b1,则a+b1.故“a+b1”是“ab1”的必要不充分条 件,故选B.,2-2 (2016山西太原一模)“已知命题p:cos ,命题q: ”,则命题 p是命题q的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解法一:若cos ,则2k (kZ),则也必然不等于 , 故pq;若 ,但=- 时,依然有cos = ,故q/ p. 所以p是q的充分而不必要条件. 解法二:p:cos = ,q:= ,则有p q,qp,即q是p的充分不必 要条件,根据原命题与逆否命题的等价性,可得p是q的充分不必要条件.,考点三 充分、必要条件的应用 典例3 已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若xP是 xS的必要条件,则m的取值范围为 . 答案 0,3,解析 由x2-8x-200得-2x10, P=x|-2x10, 由xP是xS的必要条件,知SP. 则 0m3. 当0m3时,xP是xS的必要条件,即所求m的取值范围是0,3.,方法技巧 解决由充分、必要条件求参数范围问题时,一般是把充分条件、必要条 件或充要条件转化为集合之间的包含关系,然后根据集合之间的关系列 出关于参数的不等式(组)求解.,变式3-1 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求m的取值范 围. 解析 由xP是xS的充分条件,知PS, 则 解得m9, 即m的取值范围是9,+).,变式3-2 本例条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件? 并说明理由. 解析 不存在. 理由:若xP是xS的充要条件,则P=S, 无解, 不存在实数m,使xP是xS的充要条件.,
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