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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,【知识梳理】 1.平面的基本性质,两点,不在一条直线,这条直线外,的一点,相交,平行,有且只有,一条,2.空间直线的位置关系 (1)位置关系分类:,异面直线：不同在_内，没有公共点.,位置 关系,共面直线,_直线：同一平面内,有且只有一个 公共点; _直线：同一平面内,没有公共点;,相交,平行,任何一个平面,(2)平行公理和等角定理: 平行公理:平行于同一条直线的两条直线_. 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角_. (3)异面直线所成的角: 定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa, bb,把a与b所成的_叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角). 异面直线所成角的范围:_.,平行,相等或互补,锐角(或直角),3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系,1,0,无数,0,无数,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a; 两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点的任意一条直线; 两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,并记作=A; 两个平面ABC与DBC相交于线段BC;,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. 其中正确的是( ) A. B. C. D. 【解析】选D.根据平面的性质公理3可知对;对于,其错误在于“任意”二字上;对于,错误在于=A上;对于,应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC;两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,所以正确.,2.(2013安徽高考)在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理.,3.(2014台州模拟)对于空间中的两条直线,“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.若两条直线异面,则一定无公共点,两条直线无公共点时,这两条直线可能平行,故选A.,4.直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中两条直线的平面的个数为( ) A.1 B.3 C.6 D.0 【解析】选B.如图所示,可知有3个平面.,5.(2014石家庄模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 .,【解析】连接BD,B1D1,如图所示,易证 EFBD,BDB1D1,故CB1D1就是异面 直线B1C与EF所成的角或所成角的补角. 连接D1C知CB1D1为正三角形,故B1C与EF 所成的角为60. 答案:60,考点1 平面的基本性质及其应用 【典例1】(1)给出以下命题: 不共面的四点中,其中任意三点不共线; 若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面; 若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面; 依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,(2)(2014宁波模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点, 求证:E,C,D1,F四点共面.,【解题视点】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断. (2)根据中位线定理可证明EFCD1,即可证得结论.,【规范解答】(1)选B.假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确.对于,b与c可能异面,不正确.不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.,(2)如图,连接CD1,EF,A1B, 因为E,F分别是AB和AA1的中点, 所以EFA1B且EF= A1B. 又因为A1D1BC,且A1D1=BC, 所以四边形A1BCD1是平行四边形. 所以A1BCD1,所以EFCD1, 即EF与CD1确定一个平面. 且E,F,C,D1,即E,C,D1,F四点共面.,【互动探究】本例第(2)题的条件不变,如何证明“CE,D1F,DA交于一点”? 【证明】由例题解析可知,EFCD1,且EF= CD1, 所以四边形CD1FE是梯形. 所以CE与D1F必相交.设交点为P,如图, 则PCE平面ABCD, 且PD1F平面A1ADD1. 又因为平面ABCD平面A1ADD1=AD, 所以PAD,所以CE,D1F,DA交于一点.,【规律方法】 1.证明空间点共线问题的方法 (1)公理法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.,2.点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合. (3)反证法. 提醒:在选择已知条件确定平面时,要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明.,【变式训练】如图,空间四边形ABCD中,E,F 分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且 BGGC=DHHC=12. (1)求证:E,F,G,H四点共面. (2)设EG与FH交于点P.求证:P,A,C三点共线.,【证明】(1)因为E,F分别为AB,AD的中点, 所以EFBD. 在BCD中, 则GHBD,所以EFGH. 所以E,F,G,H四点共面.,(2)因为EGFH=P,PEG,EG平面ABC, 所以P平面ABC.同理P平面ADC. 则P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC平面ADC=AC, 则PAC, 所以P,A,C三点共线.,【加固训练】1.(2013江西高考)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=( ) A.8 B.9 C.10 D.11,【解析】选A.取CD中点G,连接EG,FG,可知CD平面EFG,因为ABCD,所以AB平面EFG,容易知道平面EFG与正方体的左右两个侧面平行,所以EF与正方体的两个侧面平行,观察可知n=4;又正方体的底面与正四面体的底面共面,所以过点A可作AHCE,易知CE与正方体的上底面平行,在下底面内,与其他四个面相交,所以m=4,即得m+n=8.,2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证: (1)D,B,F,E四点共面. (2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.,【证明】(1)连接B1D1, 因为E,F分别为D1C1,C1B1的中点, 所以EFD1B1,又D1B1DB,则EFDB, 所以D,B,F,E四点共面. (2)因为ACBD=P,A1C1EF=Q, 所以P平面DBFE,P平面A1ACC1, Q平面DBFE,Q平面A1ACC1, 又A1C平面DBFE=R,所以R平面DBFE,R平面A1ACC1, 所以P,Q,R在平面DBFE与平面A1ACC1的交线上, 因此P,Q,R三点共线.,考点2 空间直线的位置关系 【典例2】(1)(2014新乡模拟)已知m,n为异面直线,m平面,n平面,=l,则l( ) A.与m,n都相交 B.与m,n中至少一条相交 C.与m,n都不相交 D.与m,n中的一条直线相交,(2)如图所示,正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问: AM和CN是否是异面直线?说明理由. D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.,【解题视点】(1)采用反证法进行判断. (2)通过说明MNAC,说明AM,CN共面,从而判断. 由图易判断D1B和CC1是异面直线,可用反证法证明.,【规范解答】(1)选B.若m,n都不与l相交, 因为m,n,=l,所以ml,nl, 所以mnl,这与m,n为异面直线矛盾, 故l与m,n中至少一条相交. (2)不是异面直线. 理由:连接MN,A1C1,AC. 因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MNA1C1. 又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形, 所以A1C1AC,所以MNAC, 所以A,M,N,C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线.,是异面直线. 理由: 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面,使D1B平面,CC1平面, 所以D1,B,C,C1, 这与B,C,C1,D1不共面矛盾. 所以假设不成立, 即D1B和CC1是异面直线.,【易错警示】反证法证直线异面 如本例(2)中用反证法证明异面,不论是从共面的角度,还是从平行、相交的角度否定,都要说清楚,得出矛盾. 【规律方法】异面直线的判定方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.,【变式训练】(2014丽水模拟)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1l2,l2l3l1l3 B.l1l2,l2l3l1l3 C.l1l2l3l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面 【解析】选B.因为线线垂直不具有传递性,所以选项A错误;易知选项B正确;当l1,l2,l3为三棱柱的三条侧棱时,l1,l2,l3就不共面,所以选项C错误;当l1,l2,l3为三棱锥的三条侧棱时,l1,l2,l3就不共面,所以选项D错误.,【加固训练】1.用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题: 若ab,bc,则ac; 若ab,bc,则ac; 若a,b,则ab; 若a,b,则ab. 其中真命题的序号是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.平行关系的传递性. 举反例: 在同一平面内,ab,bc,有ac.,举反例:如图的长方体中,a,b,但a与b相交. 垂直于同一平面的两直线互相平行. 故正确.,2.(2013唐山模拟)如果两条异面直线称为“1对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A.12对 B.24对 C.36对 D.48对 【解析】选B.如图所示,与AB异面的直线有 B1C1,CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱具有相同 的位置且正方体共有12条棱,排除两棱的重 复计算, 共有异面直线 =24(对).,3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论: 直线AM与CC1是相交直线; 直线AM与BN是平行直线; 直线BN与MB1是异面直线; 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为 (注:把你认为正确的结论序号都填上).,【解析】因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故错;取DD1中点E,连接AE,则BNAE,但AE与AM相交,故错;因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故正确;同理正确,故填. 答案:,考点3 异面直线所成的角 【考情】从近几年的高考试题来看,异面直线所成的角是高考的热点,题型既有选择题又有填空题,也有解答题,难度为中低档题;客观题主要考查异面直线所成的角,主观题较全面考查立体几何的有关知识、异面直线所成的角的求法等.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2014宁波模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 ( ) (2)(2014广州模拟)已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.,【解题视点】(1)由M,N分别为A1B1,BB1的中点,可取AB的中点E,EB的中点F,利用直线平行的传递性,确定异面直线AM与CN所成的角. (2)取AC的中点P连接PM连接PN得AB与CD所成的角得AB与MN所成的角.,【规范解答】(1)选D.如图,取AB的中点E, 连接B1E,则AMB1E. 取EB的中点F,连接FN,则B1EFN,因此 AMFN, 连接CF,则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角. 设AB=1,在CFN中, 由余弦定理cos=|cosCNF|=,(2)如图,取AC的中点P.连接PM,PN, 则PMAB,且PM= AB, PNCD, 且PN= CD, 所以MPN为AB与CD所成的角(或其补角). 则MPN=60或MPN=120,若MPN=60, 因为PMAB,所以PMN是AB与MN所成的角(或其补角). 又因为AB=CD,所以PM=PN, 则PMN是等边三角形,所以PMN=60, 即AB和MN所成的角为60. 若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形. 所以PMN=30, 即AB和MN所成的角为30. 综上,直线AB和MN所成的角为60或30.,【通关锦囊】,【特别提醒】求异面直线所成的角应注意角的范围是 其余弦值一定为非负.,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014温州模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90, AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90,【解析】选C.分别取AB,AA1,A1C1的中点D,E,F, 则BA1DE,AC1EF. 所以异面直线BA1与AC1所成的角为DEF(或其 补角), 设AB=AC=AA1=2,则DE=EF= ,DF= , 由余弦定理得, cosDEF= 则DEF=120, 从而异面直线BA1与AC1所成的角为60.,2.(2014金华模拟)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1AB= 则异面直线AB1与BD所成的角为 .,【解析】如图所示,取A1C1的中点D1,连接B1D1, 由于D是AC的中点, 所以B1D1BD,所以AB1D1即为异面直线AB1与BD 所成的角或其补角.连接AD1,设AB=a,则AA1= a, 所以 在AB1D1中,由余弦定理得 cosAB1D1= 所以AB1D1=60. 所以异面直线AB1与BD所成的角为60. 答案:60,3.(2014宁波模拟)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD.以上四个命题中,正确命题的序号是 .,【解析】由展开后的图形可还原成如图 所示的纸盒,显然ABEF,所以正确; ABCM,所以错误;由异面直线的定义 可知,EF与MN是异面直线,所以正确;同理MN与CD也是异面直线,且所成角为90,所以错误. 答案:,【加固训练】1.(2014惠州模拟)如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( ),【解析】选A.由题意得如图的直观图,从A出发 的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1, O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1, 又可知AE=1,由于OEAB,故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角三角形DAE中,DE= ,由于O是中点,在直角三角形ABC中可以求得AO= , 在直角三角形DAO中可以求得DO= .在三角形DOE中,由余弦定理得cosDOE= 故所求余弦值为,2.(2014成都模拟)若两条异面直线所成的角为60,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有 对.,【解析】正方体如图,若要出现所成角为60 的异面直线,则直线需为面对角线,以AC为例, 与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别 是AB,BC,AD,CD,正方体的面对角线 有12条,所以所求的黄金异面直线对共有 =24对(每一对被计算两次,所以记好要除以2). 答案:24,3.(2013长沙模拟)如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为 .,【解析】如图,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK, 则GKDH,故PGK即为所求的异面直线所成的角 或者其补角. 设这个正四面体的棱长为2,在PGK中, 故cosPGK= 即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是 答案:,【巧思妙解8】巧用补形法求异面直线所成的角 【典例】(2014银川模拟)如图长方体AC1中, AB=12,BC=3,AA1=4,N在A1B1上,且B1N=4,则异 面直线BD1与C1N所成角的余弦值为( ),【解析】常规解法:选B.如图所示, 在AB上取点N1使得BN1= AB,连接AD1,在AD1上取点E使得ED1= AD1,连接EN1,CN1,CE, 则EN1BD1,CN1C1N,所以EN1C为异面直线BD1与C1N所成角(或其补角). 因为,连接BC1,在BC1上取点F,使得FC1= BC1,连接EF,CF,可知EFFC,CF= 所以EC= 在EN1C中,由余弦定理得 cosEN1C = 所以BD1与C1N所成角的余弦值为,巧妙解法:选B. 补一个与原长方体相同的,并与原长方体有公共面BC1的长方体B1F, 如图所示，连接C1E,NE, 则C1EBD1，于是NC1E即为异面直线BD1与C1N所成角(或其补角).,在NC1E中，根据已知条件可求 C1N5， C1E13，EN 由余弦定理，得cosNC1E 所以BD1与C1N所成角的余弦值为,【解法分析】,【小试牛刀】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,则异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值为 .,【解析】常规解法: 如图,连接B1D1与A1C1,交于点O1,取BB1的中点M,连 接O1M,则O1MD1B,于是A1O1M即为异面直线A1C1 与BD1所成的角(或其补角),连接A1M, 在A1O1M中, A1O1= 由余弦定理得cosA1O1M = 所以异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值为 答案:,巧妙解法:补一个与原长方体相同的 并与原长方体有公共面BC1的长方体 B1F,位置如图所示.连接A1E,C1E,则 A1C1E即为异面直线A1C1与BD1所成的角(或其补角). 在A1C1E中, 由余弦定理得cosA1C1E= 所以异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值为 答案:,
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