资源描述
第七章 立体几何初步 第一节 空间几何体的结构及其三视图 和直观图,【知识梳理】 1.空间几何体的结构特征,相等,全等,公共点,平行于底面,相似,2.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称: 形成:空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在这种投影 之下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的_ 和_是完全相同的; 名称:三视图包括_、_、_. (2)三视图的画法: 在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成_. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_ 方、_方、_方观察几何体画出的轮廓线.,形状,大小,正视图,侧视图,俯视图,虚线,正前,正左,正上,3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用_画法来画,基本步骤是: (1)画几何体的底面:在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴、y轴,两轴相交于点O,且使xOy=_,已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度_,平行于y轴的线段,长度_.,斜二测,45(或135),不变,减半,(2)画几何体的高:在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在 直观图中对应的z轴,也垂直于xOy平面,已知图形中平 行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z轴且长度_.,不变,【考点自测】 1.(思考)给出下列说法: 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱; 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; 一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点,顶点最少的一个棱台有3条侧棱; 用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中,A=45;,正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同. 其中正确的是( ) A. B. C. D. 【解析】选D.错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行.如图 ,该几何体并不是棱柱.,错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角形,但不能保证三角形具有公共顶点. 正确.面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;面数最少的棱锥为三棱锥,有4个顶点;顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱. 错误.A应为45或135. 错误.正方体的三视图由于正视的方向不同,其三视图的形状可能不同,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同.,2.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 【解析】选A.从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但大小不一样,可以判断是棱台.,3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( ),【解析】选C.依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为A; 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B; 若俯视图为C,则正视图中应有实线或虚线,故该几何体的俯视图不可能是C; 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图为D.,4.如图所示的直观图,其表示的平面图形是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【解析】选D.因为BCy轴,故在原图中平行于y轴,而ACx轴,在原图中平行于x轴,故BCAC,故三角形的形状为直角三角形.故选D.,5.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积为 . 【解析】由题意可知,该直三棱柱的底面边长为2,高为1, 故S侧面=321=6. 答案:6,6.(2013温州模拟)利用斜二测画法得到的: 三角形的直观图一定是三角形; 正方形的直观图一定是菱形; 等腰梯形的直观图可以是平行四边形; 菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是 . 【解析】由斜二测画法的规则可知正确;错误,是一般的平行四边形;错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,也错误. 答案:1,考点1 空间几何体的结构特征 【典例1】(1)给出下列命题: 棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; 用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; 若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;,存在每个面都是直角三角形的四面体; 棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是( ) A. B. C. D.,(2)给出下列命题: 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; 在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确命题的序号是( ) A. B. C. D.,【解题视点】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义及特征进行判断. (2)根据圆柱、圆台母线的定义及其相关性质进行判断. 【规范解答】(1)选C.错误,因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形;错误,必须用平行于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台;,正确,根据面面垂直的判定定理判断;正 确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行 于侧棱,又垂直于底面;正确,如图所示,正 方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角 三角形;正确,由棱台的概念可知.因此,正确命题的序号是. (2)选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知,只有是正确的,所以选D.,【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定. (2)利用反例对结构特征进行辨析,即要说明某个命题是错误的,只要举出一个反例即可.,直棱柱、正棱柱和正棱锥的有关概念 (1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. (2)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (3)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.,【变式训练】下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线,【解析】选D.A错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不一定是棱锥.,B错误.如图,若ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥. C错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.,【加固训练】 1.给出下列命题: 各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; 三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥; 底面是正三角形的棱锥是正三棱锥; 顶点在底面上的射影是底面多边形的内心,又是外心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选A.命题显然不正确.正棱锥必须具备两点,一是:底面为正多边形,二是:顶点在底面内的射影是底面的中心;命题缺少第一个条件,命题缺少第二个条件.而命题可推出以上两个条件都具备.,2.若三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形,则三个侧面的面积相等是三棱锥P-ABC为正三棱锥的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.当三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形时,如果该三棱锥又是正三棱锥,则其三个侧面的面积一定相等,但当三个侧面的面积相等时,却不一定能推出该三棱锥是正三棱锥.,3.给出下列三个命题: 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体; 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; 通过圆台侧面上一点,有无数条母线. 其中正确命题的序号是 .,【解析】错误,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则结论是错误的,如图(1).正确,如图(2).错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线,如图(3). 答案:,考点2 空间几何体的三视图 【考情】三视图是高考命题的热点,以选择题、填空题的形式出现,主要考查已知几何体,判断三视图;已知几何体三视图中的两个视图,判断第三个视图;由三视图判断几何体等.,高频考点 通 关,【典例2】(1)(2014金华模拟)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为( ),(2)(2013四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( ),【解题视点】(1)结合原正方体,确定两个关键点B1,D1和两条重要线段AD1和B1C的投影. (2)结合三视图进行判断,特别要注意虚线的标注. 【规范解答】(1)选B.图2所示的几何体的侧视图由点A,D,B1,D1确定外形为正方形,判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚,其中要把AD1和B1C区别开来,故选B. (2)选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致,并且俯视图是两个圆,可知只有选项D适合,故选D.,【通关锦囊】,【特别提醒】对于简单组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.,【关注题型】,【通关题组】 1.(2012福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 【解析】选D.圆柱的三视图,分别为矩形,矩形,圆,不可能三个视图都一样,而球的三视图都是圆,三棱锥的三视图可以都是三角形,正方体的三视图可以都是正方形.,2.(2014丽水模拟)已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧(左)视图可能为( ),【解析】选B.由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形.由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面,且其长度为2,故其侧(左)视图为直角边长为2和 的直角三角形.,3.(2011浙江高考)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ),【解析】选B.,4.(2013长春模拟)一只蚂蚁从正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体 的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位 置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图可能是 (填上序号).,【解析】由点A经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,共有6种展开方式,若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内,在矩形中连接AC1会经过BB1的中点,故此时的正视图为.若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内,在矩形中连接AC1会经过CD的中点,此时正视图会是.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在中. 答案:,【加固训练】1.(2013西安模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为 ,则该几何体的俯视图可以是( ),【解析】选C.若该几何体的俯视图是选项A,则该几何体的体积为1,不满足题意;若该几何体的俯视图是选项B,则该几何体的体积为 ,不满足题意;若该几何体的俯视图是选项C,则该几何体的体积为 ,满足题意;若该几何体的俯视图是选项D,则该几何体的体积为 ,不满足题意.,2.(2013兰州模拟)已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何图形的4个顶点,这些几何图形是( ),矩形;不是矩形的平行四边形;有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体;每个面都是等腰三角形的四面体;每个面都是直角三角形的四面体. A. B. C. D.,【解析】选A.由三视图知该几何体是底面边长为a,高为b的长方体.任选4个顶点,若这4个点的几何体是平行四边形,则其一定为矩形,故不可能.其他情形均有可能,如图所示.,3.(2013龙岩模拟)如图表示一个由相同小立方 块搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表 示该位置上小立方块的个数,则该几何体的正视 图为( ),【解析】选C.俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数, 分析其中的数字,得正视图有3列,从左到右的行数分别是4,3,2. 如图 .,4.(2014泰安模拟)某几何体的三视图如图所示,当xy最大时,该几何体的体积为 .,【解析】如图所示,三视图所表示的立体 图形是三棱锥A-BCD,从图中可得x2+y2= 52+( )2=32,xy =16,当且仅当 “x=y”时取“=”,此时x=y=4,VA-BCD= 答案:,考点3 空间几何体的直观图 【典例3】(1)(2013桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图ABC的面积为( ),(2)如图,正方形OABC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为 .,【解题视点】(1)先建立坐标系,然后画出ABC的直观图ABC,求出ABC相关的边,确定其面积. (2)按照斜二测画法,将正方形OABC还原为平面图形再求解.,【规范解答】(1)选D.如图所示的实际图形和直观图, 由可知,AB=AB=a,OC= 在图中作CDAB于D, 则 所以SABC=ABCD,(2)将直观图还原为平面图形,如图. 可知还原后的图形中 于是周长为23+21=8(cm). 答案:8cm,【互动探究】若本例(1)改为“A1B1C1是边长为a的正三角形,且A1B1C1是ABC的直观图”,则ABC的面积为多少? 【解析】如图,可知 在A1D1C1中,由正弦定理 得 所以SABC=,【易错警示】关注斜二测画法的规则 本例第(1)题采用斜二测画法求ABC的面积,解题过程中不能正确求出OC的长,导致这种错误的原因是忽视了在直观图中平行于y轴的线段长是原图中相应线段长的一半.,【规律方法】直观图画法的关键与结论 (1)关键:在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.” (2)结论:按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系: S直观图= S原图形.,【变式训练】(2013太原模拟)一个水平放 置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如 图所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,则这个平面图形的面积为( ),【解析】选B.如图将直观图ABCD还原后为直角梯形ABCD,其中AB=2AB=2,BC= AD=AD=1. 所以,【加固训练】1.如图所示是水平放置三角形的直观图,D是ABC的BC边中点,AB,BC分别与y轴、x轴平行,则三条线段AB,AD,AC中( ) A.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB,最短的是AD D.最长的是AC,最短的是AD 【解析】选B.由条件知,原平面图形中ABBC,从而ABADAC.,2.水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,若A1C1=2,ABC 的面积为 则A1B1的长为 . 【解析】由直观图可知ACBC,BC=2B1C1,AC=2,又因为 所以 则 所以A1B12=22+( )2-22 cos45 =2,解得A1B1= . 答案:,3.如图所示,梯形A1B1C1D1是一个平面图形ABCD的直观图.若A1D1O1y,A1B1C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O1D1=1. 请画出原来的平面几何图形的形状,并求原图形的面积.,【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O1D1=1; OC=O1C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2. 连接BC,即得到了原图形.由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2,所以面积为S= 2=5.,【易错误区16】忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【典例】(2014琼海模拟)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 (填入所有可能的几何体前的编号). (1)三棱锥;(2)四棱锥;(3)三棱柱;(4)四棱柱;(5)圆锥; (6)圆柱.,【解析】(1)三棱锥的正视图是三角形. (2)当四棱锥的底面是四边形放置时,其正视图是三角形. (3)把三棱柱某一侧面当作底面放置,其底面正对着我们的视 线时,它的正视图是三角形,如图. (4)对于四棱柱,不论怎样放置,其正视图都不可能是三角形. (5)当圆锥的底面水平放置时,其正视图是三角形. (6)圆柱不论怎样放置,其正视图都不可能是三角形. 答案:(1)(2)(3)(5),【误区警示】 阴影处忽略了将侧面当作底面放置的情形,导致漏选. 【规避策略】 1.要熟练掌握常见几何体的结构特征,并善于分析常见几何体的不同放置对三视图的影响. 2.由三视图还原几何体实际形状时,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意实线和虚线的区别,实线是能在投影平面上看得见的,而虚线在投影图中看不到.,【类题试解】如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:存在三棱柱,其正视图、俯视图如图;存在四棱柱,其正视图、俯视图如图;存在圆柱,其正视图、俯视图如图.其中真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0,【解析】选A.底面是等腰直角三角形的三棱柱,当它的一个矩形侧面放置在水平面上时,它的正视图和俯视图可以是全等的矩形,因此正确;若长方体的高和宽相等,它的正视图和俯视图可以是全等的矩形,因此正确;当圆柱侧放时(即侧视图为圆时),它的正视图和俯视图可以是全等的矩形,因此正确.直观图如图所示.,
展开阅读全文