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第四节 基本不等式,【知识梳理】 1.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件是_. (2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号.,a0,b0,a=b,2.常用的几个重要不等式 (1) (2)a+b_(a0,b0). (3)a2+b2_(a,bR). (4) 以上不等式等号成立的条件均为a=b时取得.,2ab,3.算术平均数与几何平均数,不小于,4.利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b为正实 数,且a+b=M,M为定值,则ab_,等号当且仅当_时成立. 简记:和定积最大. (2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为正实 数,且ab=P,P为定值,则a+b_,等号当且仅当_时成立. 简记:积定和最小.,a=b,a=b,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 函数y=x+ 的最小值是2; ab 成立的条件是ab0; 函数f(x)=cosx+ 的最小值等于4; x0且y0是 的充分不必要条件;,若a0,则 的最小值为2. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.错误.当x0时,函数值一定为负,最小值不是2. 错误.当ab0时,仍有 因此对于不等式 当a,b中有0或一个负数时也是成立的. 错误.虽然由基本不等式可得 但由于其中的等号成立的条件是 即cosx=2,但这显然不成立,所以不能说函数的最小值是4.,正确.当x0且y0时一定有 但当 时,不一 定有x0且y0,所以x0且y0是 的充分不必要条件. 正确.因为a0,所以a20,所以 等号成 立的条件是a=1.,2.若x0,y0,且x+y= ,则xy的最大值为( ) 【解析】选D.由基本不等式可得 当且仅当x=y= 时,xy取最大值 .故选D.,3.若x1,则 的最小值是( ) 【解析】选C.由x1得x-10,则 当且仅当x=1+ 时取等号.故选C.,4.已知x,y0且x+4y=1,则 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】选B.因为x,y0且x+4y=1, 所以 当且仅当 时取等号.,5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离 成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比, 如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万 元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.,【解析】设仓库到车站的距离为x千米,由题意设 y2= k2x,而当x=10时,y1=2,y2=8,于是k1=20,k2= ,因此y1= ,y2= x,所以 当且仅当x=5时取等号,所 以仓库应建在离车站5千米处. 答案:5,6.已知a,b(0,+),且满足8a+2b=ab-9,则ab的取值范围是 . 【解析】由a,b(0,+)可得ab-9=8a+2b 即ab- -90, 故 故ab81,等号成立的条件是b=4a=18. 答案:81,+),考点1 利用基本不等式求最值 【典例1】(1)(2014福州模拟)已知a0,b0,则 的最 小值是( ) A.2 B. C.4 D.5 (2)已知x,yR+,且满足 则xy的最大值为 . (3)(2014余姚模拟)已知正数a,b满足 则a+b的取值 范围是 .,【解题视点】(1)利用基本不等式可解. (2)利用基本不等式先求 的取值范围,从而可求xy的最大值. (3)一种思路是根据 将a+b中的b用a表示,然后用基本 不等式求范围;另一种思路是对 变形,获得a+b与ab的 关系,然后利用基本不等式消去ab建立a+b的不等式求解.,【规范解答】(1)选A.因为a0,b0,所以ab0,所以 等号当且仅当ab=1时取得. (2)因为 所以xy3,当且仅当 即x= ,y=2时取等号,故xy的最大值为3. 答案:3,(3)方法一:由 得a+b=3ab,所以 由于a0,b0, 可得a .于是 当且仅当 即a= 时取等号,所以a+b的取值范围 是,方法二:由 得a+b=3ab. 由于 所以 即4(a+b)3(a+b)2,所以a+b ,即a+b的取值范围是 答案:,【互动探究】本例题(3)中,条件不变,求ab的取值范围. 【解析】由于a+b2 ,所以3ab2 ,即9(ab)24ab, 所以ab ,即ab的取值范围是,【规律方法】利用基本不等式求最值的常见类型 (1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1”的代换等. (3)若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解. (4)若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用基本不等式,但要注意等号成立的条件必须要一致.,利用基本不等式求最值的要求 (1)在利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件: 各项均为正数; 含变数的各项的和(或积)必须是定值; 当含变数的各项均相等时取得最值,即一正、二定、三相等.这三个条件极易忽略而导致解题失误,应引起足够的重视. (2)上述结论是我们用基本不等式求最值的依据,可简述为“和定积最大,积定和最小”.,【变式训练】(2014慈溪模拟)若正数x,y满足2x+y-3=0,则 的最小值为 . 【解析】因为2x+y-3=0,所以 所以 = = 答案:3,【加固训练】 1.(2013福州模拟)已知f(x)=x+ -2(x0,则f(x)=x+ -2= 当且仅当x=-1时取等号.,2.设x0,则函数 的最小值等于 . 【解析】 当且仅当x+1= ,即x=1时取等号,所以函数的最小值等于2. 答案:2,3.函数f(x)=sinx+ (0x)的最小值是 . 【解析】因为0x,所以0sinx1.因此由基本不等式得: 当且仅当 sinx= ,即x= 或x= 时取等号,所以函数的最小值等于1. 答案:1,考点2 基本不等式的实际应用 【典例2】(1)(2013四平模拟)某种饮料分两次提价,提价方 案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次 都提价 若pq0,则提价多的方案是 .,(2)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和 外墙需要建造隔热层.某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗 费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元. 设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. 求k的值及f(x)的表达式; 隔热层修建多厚时,总费用f(x)最小,并求最小值.,【解题视点】(1)列出两次提价的关系式,利用基本不等式比较大小即可. (2)利用已知条件代入关系式可求k,从而可求f(x)的表达式. 整理转化后利用基本不等式可解.,【规范解答】(1)设原价为1,则提价后的价格,方案甲:(1+p%)(1+q%),方案乙: 因为 且pq0,所以 即 所以提价多的方案是乙. 答案:乙,(2)由题设,建筑物每年能源消耗费用为C(x)= 再由 C(0)=8,得k=40, 所以C(x)= 而隔热层建造费用为C1(x)=6x, 所以20年的能源消耗费用之和与隔热层建造费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=,f(x)= 当且仅当 即x=5时取等号. 所以当隔热层修建厚度为5 cm时,总费用最小,为70万元.,【易错警示】关注自变量的取值范围 本例(2)中建立关系时,一定要注意自变量的取值范围,否则解题时易丢分,一定要注意实际问题中自变量的范围.,【规律方法】解应用题的关键点及步骤 (1)关键:如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决. (2)一般步骤:审题:审清题意,初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路,明确解题方向; 建立数学模型:根据中的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型,建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系;,讨论不等关系:根据中建立起来的数学模型和题目要求,讨论与结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值; 得出问题结论:根据中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问题的结论.,提醒:当运用基本不等式求最值时,若使等号成立的自变量的值不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.,【变式训练】(2014武汉模拟)经观测,某公路段在某时段内 的车流量y(万辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有 函数关系 (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最 大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为1万辆/小时,则汽车的平均 速度应控制在什么范围内?,【解析】(1) 当 即v=40(千米/小时)时,车流量最大,最大值约为 1.108万辆/小时.,(2)据题意有 化简得v2-89v+16000,即(v-25)(v-64)0, 所以25v64. 所以汽车的平均速度应控制在25,64(千米/小时)这个范围内.,【加固训练】 1.某种汽车,购车费用为10万元,每年的保险费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?,【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列,因此,汽车使用x年时总的维修费用为 万元.,设汽车的年平均费用为y万元,则有 当且仅当 即x=10时,y取得最小值. 答:汽车使用10年时,它的年平均费用最少.,2.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?,【解析】由题意可得,总造价y= 则 当且仅当x= ,即x=4时取等号. 故当侧面的长度为4m时,总造价最低.,考点3 基本不等式的综合应用 【考情】基本不等式是高考考查的热点,几乎每年高考均有与其有关的题目.常以选择题、填空题的形式出现.通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围 是( ) A0,2 B2,0 C2,+) D(,2 (2)(2013四川高考)已知函数f(x)=4x+ (x0,a0)在x=3时 取得最小值，则a=_.,【解题视点】(1)利用基本不等式、有理指数幂的运算性质及指数函数的单调性可解. (2)利用基本不等式确定等号成立条件可求a.,【规范解答】(1)选D. 2x+2y=1， 所以2x+y 即2x+y22，所以x+y2. (2)由f(x)=4x+ (x0,a0)，根据基本不等式4x+ 当 且仅当4x= 时取等号，而由题知当x=3时取得最小值，即a=36. 答案：36,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014湖州模拟)若a0,b0,a+b=2,则下列不等式:a2+b2 2; ab1; 恒成立的是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.因为a0,b0,a+b=2, 所以由 得a2+b22; ab1;即均正确;不妨令a=b=1,则 故 错误;综上所述,恒成立的是.故选B.,2.(2012陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和 b(ab),其全程的平均时速为v,则( ) 【解析】选A. 设甲乙两地的路程为s，则往返时间分别是,3.(2014温州模拟)已知a,b为正实数,且 若a+b-c0 对于满足条件的a,b恒成立,则c的取值范围为( ),【解析】选A.因为a,b为正实数,且 可知 所以 = 当且仅当 时取等号. 因此可知c小于等于a+b的最小值即可,故有c的取值范围是 选A.,4.(2013天津高考)设a+b=2,b0,则 的最小值为_. 【解析】因为a+b=2,b0，所以 当且仅当 时等号成立，此时 a=2或 答案：,【加固训练】 1.(2012湖北高考)设a,b,cR+,则“abc=1”是“ a+b+c”的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件,【解析】选A.,2.(2013浙江十校联考)若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy 的最大值是( ) 【解析】选C.由x0,y0知4x2+9y2+3xy2(2x)(3y)+3xy (当且仅当2x=3y时等号成立),所以12xy+3xy30,即xy2,故 选C.,3.(2013郑州模拟)函数y=loga(x+3)-1(a0,且a1)的图象 恒过定点A,若点A在mx+ny+2=0上,其中mn0,则 的最小值 为 . 【解析】当x=-2时,y=loga(-2+3)-1=-1,即定点A的坐标为(-2, -1),于是有-2m-n+2=0,即 当且仅当 即n= m=2( -1)时取等号,因此 的最小值是 答案:,4.(2013孝感模拟)已知a,b,c都为正数,且a+b+c=1,求证 【证明】因为a,b,c都为正数,且a+b+c=1,所以 同理 上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 当且仅当a=b=c= 时取等号.,【易错误区15】多元基本不等式求最值的易错点 【典例】(2013山东高考)设正实数x,y,z满足x23xy+4y2z=0，则当 取得最大值时，x+2yz的最大值为( ),【解析】选C. 由x23xy+4y2z=0，得z=x23xy+4y2. 所以 当且仅当 即x=2y时取等号,此时z=2y2， 所以x+2yz=2y+2y2y2=4y2y2=2y(2y),当且仅当y=2-y时取等号. 或x+2y-z=2y+2y-2y2=4y-2y2 =-2(y-1)2+2， 当y=1时，此时x=2,z=2，x+2y-z的最大值为2.,【误区警示】 1.处进行转化消元,化为x,y的关系式时出现错误而失分. 2.处忘记利用已求得的最值,将x,z均用y表示,而后用基本不等式或化为二次函数求解导致错误而失分.,【规避策略】 1.对多元关系式求最值要进行消元转化,再利用基本不等式. 2.求解过程中能消元的尽量消元,能转化为一元的,要转化为一元,从而使求解方法更为灵活.,【类题试解】(2014杭州模拟)已知x0,y0,x,a,b,y成等差 数列,x,c,d,y成等比数列,则 的最小值是 . 【解析】因为x,a,b,y成等差数列,所以a+b=x+y. 因为x,c,d,y成等比数列,所以cd=xy,则 当且仅当 时,取等号. 答案:4,
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