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第二节 等差数列及其前n项和,【知识梳理】 1.等差数列的概念 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于 _,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等 差数列的_,一般用字母d表示;定义的表达式为: _ 2.等差中项 如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A= .,同一个常数,公差,an+1-an=d(nN*).,3.等差数列的通项公式 若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=_. 4.等差数列的前n项和公式,a1+(n-1)d,5.等差数列的性质 (1)等差数列的常用性质: 通项公式的推广:an=am+_(n,mN*); 若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 _;k+l=2m_(k,l,mN*); 若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为_; 若an,bn是等差数列,则pan+qbn(nN*)是等差数列; 若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 _的等差数列.,(n-m)d,2d,md,ak+al=am+an,ak+al=2am,(2)等差数列与等差数列各项的和有关的性质: 若an是等差数列,则 也成等差数列,其首项与an的首 项相同,公差是an的公差的 ; Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm, S2m-Sm,_成等差数列; 关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (i)若等差数列an的项数为2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, ,S3m-S2m,(ii)若等差数列an的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan, S奇-S偶=an, (其中S奇,S偶分别表示数列an中所有奇数项、偶数项的和); 两个等差数列an,bn的前n项和Sn,Tn之间的关系为 数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A0)是an成等差数列的 _条件; 等差数列的增减性:d0时为_数列,且当a10时前n项和Sn有最大值.,充分,递增,递减,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则 这个数列是等差数列; 数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有 2an+1=an+an+2; 等差数列an的单调性是由公差d决定的; 数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数; 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. 其中正确的命题是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列. 正确.如果数列an为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意nN*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=a2-a1,根据定义数列an为等差数列. 正确.当d0时为递增数列;d=0时为常数列;d0时为递减数列. 错误.根据等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有当d0时,等差数列的通项公式才是n的一次函数,否则不是.,错误.根据等差数列的前n项和公式,Sn= 显然只有公差d0时才是关于n的常数项为0的 二次函数,否则不是(甚至也不是n的一次函数,即a1=d=0时).,2.等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于 ( ) A.1 B. C.2 D.3 【解析】选C.因为S3= =6,而a3=4.所以a1=0,所以 d= =2.,3.若an为等差数列，Sn是其前n项的和，且 则 tan a6=( ) 【解析】选C.,4.在等差数列an中,Sn是其前n项和,且a4=9,a9=-6,则Sn取最大 值时n的值为( ) A.6或7 B.7或8 C.5或6 D.8或9 【解析】选A.由 所以an=-3n+21,故a1a2 a3a6a7=0a8,所以S6=S7最大.,5.在等差数列an中,Sn表示其前n项和,若Sn= ,Sm= (mn), 则Sm+n-4的符号是( ) A.正 B.负 C.非负 D.非正 【解析】选A.因为Sn=na1+ d= (1), Sm=ma1+ d= (2), 所以由(1)(2)得d= ,a1= . 故Sm+n-4=(m+n)a1+ d-4 = 0(mn).,6.(2013上海高考)在等差数列an中,若a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3= . 【解析】a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=30a2+a3=15. 答案:15,考点1 等差数列的基本运算 【典例1】(1)(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 (2)(2014南京模拟)等差数列an的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50. 求通项an;若Sn=242,求n.,【解题视点】(1)利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差,再利用通项公式求出a9. (2)先求出基本量a1和d,再利用通项公式求解;利用前n项和公式解方程即可.,【规范解答】(1)选A.由S8=4a38a1+ d=4(a1+2d);由 a7=-2a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2, 所以a9=a1+8d=10-16=-6. (2)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程组 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10; 由Sn=na1+ d,Sn=242, 得方程12n+ 2=242, 解得n=11或n=-22(舍去).,【互动探究】本例(1)中,已知条件不变,求Sn. 【解析】由本例(1)知a1=10,d=-2,所以 Sn=na1+ d=10n-n(n-1)=-n2+11n.,【规律方法】 1.等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.,2.等差数列前n项和公式的应用方法 根据不同的已知条件选用两个求和公式,如已知首项和公差,则 使用公式Sn=na1+ d,若已知通项公式,则使用公式 Sn= .,【变式训练】1.(2013新课标全国卷)设等差数列an的前 n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.方法一:由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因 为数列an为等差数列,所以d=am+1-am=1,又因为 Sm= =0,所以m(a1+2)=0,因为m0,所以a1=-2,又 am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,方法二:因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1- Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,由Sn= 得 由得a1= ,代入可得m=5.,方法三:因为数列an为等差数列,且前n项和为Sn, 所以数列 也为等差数列. 所以 即 =0, 解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.,2.(2014温州模拟)等差数列an的首项为a1,公差d=-1,前n项和为Sn. (1)若S5=-5,求a1的值. (2)若Snan对任意正整数n均成立,求a1的取值范围.,【解析】(1)由条件得,S5=5a1+ d=-5, 解得a1=1. (2)由Snan,代入得na1- a1+1-n, 整理,变量分离得:(n-1)a1 n2- n+1 = (n-1)(n-2), 当n=1时,上式成立. 当n1,nN*时,a1 (n-2), n=2时, (n-2)取到最小值0, 所以a10.,【加固训练】 1.(2014襄阳模拟)在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=90, 则a10- a14的值为( ) A.12 B.14 C.16 D.18 【解析】选A.由等差数列的通项公式及a4+a6+a8+a10+a12=90,得5a1+35d=90,即a1+7d=18,所以a10- a14=a1+9d- (a1+13d)= (a1+7d)= 18=12,故选A.,2.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和Sn满足S5S6+15=0. (1)若S5=5,求S6及a1. (2)求d的取值范围.,【解析】(1)由题意知S6= =-3,a6=S6-S5=-8, 所以 解得a1=7,所以S6=-3,a1=7. (2)方法一:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2 +9da1+10d2+1=0. 因为关于a1的一元二次方程有解, 所以=81d2-8(10d2+1)=d2-80, 解得d-2 或d2 .,故d的取值范围为 方法二:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2 +9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28. 故d的取值范围为,考点2 等差数列的判定与证明 【典例2】(1)若an是公差为1的等差数列,则a2n-1+2a2n是 ( ) A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列,(2)已知数列an中,a1= ,an=2- (n2,nN*),数列bn 满足bn= (nN*). 求证:数列bn是等差数列; 求数列an中的最大项和最小项,并说明理由.,【解题视点】(1)构造新数列cn,使得cn=a2n-1+2a2n,根据 cn+1-cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断. (2)证明bn+1-bn=常数;根据的结论,求得bn的通项公式,再求得an的通项公式,结合单调性求解.,【规范解答】(1)选C.设an的公差为d,则d=1.设cn=a2n-1+2a2n, 则cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故 选C. (2)因为an=2- (n2,nN*),bn= (nN*), 所以bn+1-bn= 又b1= 所以数列bn是以 为首项,1为公差的等差数列.,由知bn=n- ,则an= 设f(x)=1+ ,则f(x)在区间 和 上为减函数. 所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.,【易错警示】用定义证明等差数列时的易错点 用定义证明等差数列时,常采用的两个式子an+1-an=d和 an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n2”,否则 n=1时,a0无定义.,【规律方法】等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1,根据定义得出数列an为等差数列. (3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列.,(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列an为等差数列. 提醒:等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断.,【变式训练】(2014烟台模拟)设数列an的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意nN*,Sn是an2和an的等差中项. (1)证明数列an为等差数列,并求数列an的通项公式. (2)证明:,【解析】(1)由已知得,2Sn=an2+an,且an0, 当n=1时,2a1= a12+a1,解得a1=1(a1=0舍去); 当n2时,有2Sn-1=an-12+an-1. 于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1, 即2an=an2-an-12+an-an-1. 于是an2-an-12=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1. 因为an+an-10,所以an-an-1=1(n2). 故数列an是首项为1,公差为1的等差数列,所以数列an的通项公式为an=n.,(2)因为an=n,则,【加固训练】 1.已知数列an,anN*,Sn= (an+2)2. (1)求证:an是等差数列. (2)设bn= an-30,求数列bn的前n项和Tn的最小值.,【解析】(1)因为Sn= (an+2)2, 所以Sn-1= (an-1+2)2(n2). -得Sn-Sn-1= (an+2)2- (an-1+2)2(n2), 即an= (an+2)2- (an-1+2)2. 所以(an-2)2=(an-1+2)2, 所以an+an-1=0或an-an-1=4. 因为anN*,所以an+an-1=0舍去, 所以an-an-1=4.,a1=S1= (a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2. 所以an是首项为2,公差为4的等差数列. (2)bn= an-30= (4n-2)-30=2n-31. bn+1-bn=2(n+1)-31-(2n-31)=2. b1= a1-30= 2-30=-29. 所以bn是以b1=-29为首项,d=2为公差的等差数列. Tn=nb1+ d=-29n+ 2=n2-30n. 所以Tn=(n-15)2-225. 当n=15时,数列bn的前n项和有最小值为-225.,2.若数列an满足:a1= ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2. (1)证明数列an+1-an是等差数列. (2)求使 成立的最小的正整数n.,【解析】(1)由3(an+1-2an+an-1)=2可得 an+1-2an+an-1= ,即(an+1-an)-(an-an-1)= , 所以数列an+1-an是以a2-a1= 为首项, 为公差的等差数列. (2)由(1)知an+1-an= + (n-1)= (n+1), 累加求和得an=a1+ (2+3+n)= n(n+1), 所以 所以 所以n5,所以最小的正整数n=6.,考点3 等差数列性质的应用 【考情】通过近3年的高考试题分析,对等差数列性质的考查几乎每年必考,有时以选择题、填空题的题型出现,难度中等偏下,有时在解答题中出现,常与求通项an及前n项和Sn结合命题,题目难度中等.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2014嘉兴模拟)已知等差数列an满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n3),Sn=100,则n的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 (2)(2013新课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .,【解题视点】(1)根据已知利用等差数列性质: an+an-1+an-2=3an-1及Sn= 计算求值. (2)求得Sn的表达式,然后表示出nSn,将其看作关于n的函数,借 助导数求得最小值.,【规范解答】(1)选C.因为Sn-Sn-3=51(n3),所以 an-2+an-1+an=51,即3an-1=51,所以an-1=17(n2),又因为 Sn=100,即 =100,而a2=3,所以 =100, 解得n=10.故选C. (2)由题意知: 解得d= , a1=-3,所以Sn= 即nSn= 令f(n)=,则有f(n)=n2- ,令f(n)0,得n , 令f(n)0,得0n .又因为n为正整数,所以当n=7时, f(n)= 取得最小值,即nSn的最小值为-49. 答案:-49,【通关锦囊】,【通关题组】 1.(2014绍兴模拟)在等差数列an中,a1=-2015,其前n项和 为Sn,若 则S2015的值等于( ) A.-2015 B.-2014 C.-2013 D.-2012,【解析】选A.设等差数列an的公差为d,因为 所以 故a12-a10=4, 所以2d=4,d=2. 所以S2 015=2 015a1+ =-2 015.,2.(2014南阳模拟)等差数列an的前n项和为Sn,若S17为一确定常数,则下列各式中也为确定常数的是( ) A.a2+a15 B.a2a15 C.a2+a9+a16 D.a2a9a16 【解析】选C.因为S17为一确定常数,根据公式可知,a1+a17为一确定常数,又a1+a17=a2+a16=2a9,所以a2+a9+a16为一确定常数,故选C.,3.(2013辽宁高考)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题: p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列; p3:数列 是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4,【解析】选D.,4.(2014金华模拟)数列an的各项均为正数,Sn为其前n项和, 对于任意的nN*,总有an,Sn, an2成等差数列. (1)求a1. (2)求数列an的通项公式. (3)设数列bn的前n项和为Tn,且bn= ,求证:对任意正整数n, 总有Tn2.,【解析】(1)由已知:对于任意的nN*,总有an,Sn, an2成等差 数列, 所以2Sn=an+ , 令n=1,所以2S1=a1+ ,即2a1=a1+ , 又因为数列an的各项均为正数,所以a1=1. (2)因为2Sn=an+ 所以2Sn-1=an-1+ (n2) 由-得:2Sn-2Sn-1=an-an-1+ - ,即2an=an-an-1+ - , 所以an+an-1=an2 -an-12,即an+an-1=(an+an-1)(an-an-1). 因为an,an-1均为正数,所以an-an-1=1(n2), 所以数列an是公差为1的等差数列, 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n. (3)bn= (n2), 当n=1时,Tn=b1= =12, 当n2时,Tn=b1+b2+b3+bn,=2- 2. 所以对任意正整数n,总有Tn2.,【加固训练】 1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于 ( ) A.36 B.54 C.72 D.18 【解析】选C.由a4+a5=a1+a8=18,S8= =72,所以 选C.,2.设等差数列an的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn=324,最后6项的和为180(n6),求数列的项数n及a9+a10. 【解析】由题意可知a1+a2+a6=36, an+an-1+an-2+an-5=180, +得 (a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216, 所以a1+an=36.,又Sn= =324, 所以18n=324.所以n=18. 所以a1+a18=36. 所以a9+a10=a1+a18=36.,3.设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130,S130, 所以 即,又a3=a1+2d=12, 所以解得 d-3. (2)方法一:Sn=na1+ d(n=1,2,3,12). 所以Sn=n(12-2d)+ d 因为 d-3,所以6 , 所以当n=6时,Sn有最大值,所以S1,S2,S12中值最大的为S6.,方法二:由题意及等差数列的性质可得 所以a70. 所以在数列an中,前6项为正,从第7项起,以后各项为负,故S6最大.,【巧思妙解5】巧用等差数列的性质求前n项和 【典例】在等差数列an中,S10=100,S100=10,则S110= . 【解析】常规解法:设数列an的公差为d,首项为a1, 则 解得 所以S110=110a1+ d=-110. 答案:-110,巧妙解法: 因为S100-S10= =-90, 所以a11+a100=-2, 所以S110= =-110. 答案:-110,【解法分析】,【小试牛刀】在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11 项和S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 【解析】常规解法:选B.设等差数列an的公差为d,由题意可 得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d, 所以S11=11a1+ d =11(8-5d)+55d=88-55d+55d=88.,巧妙解法:选B.在等差数列an中,已知a4+a8=16,所以a1+a11=a4+a8=16, 所以S11= =88.,【规范解答】解决与等差数列有关的综合问题 【典例】(14分)(2014临沂模拟)已知数列an的前n项和Sn 满足Sn+an+ =2(nN*),设cn=2nan. (1)求证:数列cn是等差数列,并求数列an的通项公式. (2)按以下规律构造数列bn,具体方法如下: b1=c1,b2=c2+c3,b3=c4+c5+c6+c7,第n项bn相应的由cn中 2n-1项的和组成,求数列bn的通项bn.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤,水到渠成 (1)已知Sn+an+ =2 (*), 令n=1, 得S1+a1+1=2,所以a1= . 当n2时,Sn-1+an-1+ =2(*), (*)-(*)得 3分 ,所以2an-an-1= , 所以2nan-2n-1an-1=1.4分 又cn=2nan,所以cn-cn-1=1(n2). 又c1=2a1=1, 所以,数列cn是等差数列.5分 于是cn=1+(n-1)1=n, 又因为cn=2nan,所以an= . 7分,(2)由题意得 8分 =2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+(2n-1), 9分 而2n-1,2n-1+1,2n-1+2,2n-1是首项为2n-1, 公差为1的等差数列,且数列共有2n-1项,11分 所以,bn= = =322n-3-2n-2. 14分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练,能力迁移 已知数列an的前n项和为Sn,且an=SnSn-1(n2,Sn0), a1= (1)求证 为等差数列,并求出数列Sn的通项. (2)求满足anan-1的自然数n的集合.,【解析】(1),又nN*且a2a1,所以满足题设的n的集合为3,4,5,7.,
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