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第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法,【知识梳理】 1.数列的有关概念,一定顺序,每一个数,an=f(n),a1+a2+an,2.数列的表示方法 (1)表示方法:,an,(n,an),公式,(2)数列的函数特征:上面数列的三种表示方法也是函数的表示 方法,数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集 1,2,n)的函数an=f(n),当自变量由小到大依次取值时所 对应的一列_.,函数值,3.数列的性质,an+1an,an+1an,an+1=an,4.an与Sn的关系 若数列an的前n项和为Sn, 则an=,_， n=1,_， n2,S1,Sn-Sn-1,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 所有数列的第n项都能使用公式表达; 根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个; 已知an+2=f(an+1,an)时,如果要确定这个数列,则必须知道初始值a1,a2; 如果数列an的前n项和为Sn,则对nN*,都有an+1=Sn+1-Sn. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.错误.不是所有的数列的第n项都能使用公式表达. 正确.根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可以有多个. 错误.如已知an+2=an+1+2an,则只要知道任意连续两项都可以确定这个数列. 正确.根据数列的前n项和的定义可知.,2.已知数列an的前4项分别为2,0,2,0,则下列各式不可以作 为数列an的通项公式的一项是( ) A.an=1+(-1)n+1 B.an=2sin C.an=1-cosn D.an= 【解析】选B.因为a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,但当n=3时选项B中a3=2sin =-22,其他选项都适合,故选B.,3.把1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图). 则第7个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 【解析】选B.由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.,4.已知an= ,那么数列an是( ) A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列 【解析】选B.因为an= ,所以an+1= , 所以an+1-an= 0, 所以an+1an, 所以数列an是递增数列.,5.已知数列an的前n项和Sn=2n-3,则数列an的通项公式是 . 【解析】当n=1时,a1=S1=-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.故数列 an的通项公式是 答案:,6.在数列an中,a1=1,an+2=an+1-an(nN*),则a100等于 . 【解析】因为an+2=an+1-an, 所以an+3=an+2-an+1. 两式相加得an+3=-an, 则an+6=-an+3=an, 即数列an的周期为6,所以a100=a166+4=a4=a3-a2 =(a2-a1)-a2=-a1=-1. 答案:-1,考点1 由数列的前几项归纳数列的通项公式 【典例1】写出下面各数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9,. (2) . (3)-1, . (4) . (5)9,99,999,9999,.,【解题视点】通过分析各数列已知项的数字特征的共性写出各数列的通项公式.,【规范解答】(1)各项减去1后为正偶数, 所以an=2n+1. (2)每一项的分子比分母少1, 而分母组成数列21,22,23,24, 所以an= . (3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式的符号为(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1, 所以an= ,也可写为,an= (4)偶数项为负,而奇数项为正,故通项公式中必含有(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可知,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律,第1,2两项可改写为 所以an=(-1)n+1 .,(5)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以它的一个通项公式为an=10n-1.,【规律方法】由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值特征;化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用 (-1)k或(-1)k+1,kN*处理.,【变式训练】写出下列数列的一个通项公式. (1)2,4,6,8,. (2) . (3)a,b,a,b,a,b,(其中a,b为实数). (4)3,33,333,3333,. (5)4, ,2, ,.,【解析】(1)这个数列的前4项都是序号的2倍,所以它的一个通 项公式为an=2n(nN*). (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒 数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为 an=(-1)n . (3)这是一个摆动数列,奇数项是a,偶数项是b,所以此数列的一 个通项公式为an=,(4)将数列各项改写为: ,分母都是3,而分子 分别是10-1,102-1,103-1,104-1,. 所以an= (10n-1). (5)将该数列的前4项改写成分数的形式: 可得通项 公式an=(-1)n+1 .,【加固训练】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,. (2)0.8,0.88,0.888,. (3) .,【解析】(1)符号可通过(-1)n表示,后面的数的绝对值总比前 一个数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5). (2)数列变为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001), 所以其通项公式为an= . (3)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出第2,3,4项的分子 分别比分母少3.因此把第1项变为 . 原数列化为 , 所以an=(-1)n .,考点2 an与Sn关系式的应用 【典例2】(1)(2014台州模拟)设数列an的前n项和为Sn,若Sn= an- ,则an=( ) A.2n B.3n C.2n-1 D.3n-1 (2)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( ) A.2n-1 B. C. D.,【解题视点】(1)利用an= 求解或采用特值验证. (2)根据nN*,都有an+1=Sn+1-Sn,把Sn=2an+1化为Sn+1,Sn之间的 关系,求出数列Sn的通项,另外也可根据Sn=2an+1得出Sn-1=2an, 进而得出an+1与an的关系,从而求出Sn.,【规范解答】(1)选D.方法一:因为Sn= an- , 所以Sn-1= an-1- (n2), -,得an= 即an=3an-1. 又S1= a1- ,所以a1=1. 所以an是以1为首项,3为公比的等比数列,故an=3n-1. 方法二:在已知式中令n=1,得a1=1,排除A,B;令n=2,得 a1+a2= a2- ,得a2=3,排除C,故选D.,(2)选B.方法一:因为an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得,Sn= 2(Sn+1-Sn),整理得3Sn=2Sn+1,所以 ,所以数列Sn是以S1=a1=1为首项,q= 为公比的等比数列,所以Sn= ,故选B. 方法二:因为Sn=2an+1,所以Sn-1=2an(n2), 两式相减得:an=2an+1-2an,所以 . 所以数列an从第2项起为等比数列. 又n=1时,S1=2a2,所以a2= . 所以Sn=a1+ =,【互动探究】若例2题(2)中,结论改为求an,如何求解? 【解析】根据原题的结果Sn= .当n=1时,a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1= ,n=1时不适合这个公式.所以 an=,【规律方法】已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式. (3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n2两段来写.,【变式训练】已知数列an的前n项和Sn,分别求它们的通项公式an. (1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1. 【解析】(1)由题可知,当n=1时,a1=S1=212+31=5, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-2(n-1)2+3(n-1)=4n+1. 当n=1时,41+1=5=a1,所以an=4n+1.,(2)当n=1时,a1=S1=3+1=4, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=23n-1. 当n=1时,231-1=2a1, 所以,【加固训练】 1.已知数列an的前n项和Sn=-n2+3n,若an+1an+2=80,则n的值为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】选A.因为Sn=-n2+3n,所以a1=S1=2, 当n2时,an=Sn-Sn-1=4-2n,因此an=4-2n(nN*). 又因为an+1an+2=80, 即4-2(n+1)4-2(n+2)=80, n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).,2.设数列an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,nN*. (1)求a1的值. (2)求数列an的通项公式. 【解析】(1)令n=1,T1=2S1-1, 因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1. (2)n2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2, 则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1-(n-1)2,=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1. 因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式, 所以Sn=2an-2n+1(nN*), 当n2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1, 两式相减得an=2an-2an-1-2, 所以an=2an-1+2(n2), 所以an+2=2(an-1+2),因为a1+2=30,所以数列an+2是以3为首项,公比为2的等比数列. 所以an+2=32n-1,所以an=32n-1-2, 当n=1时也成立.所以an=32n-1-2.,考点3 由数列的递推关系求通项公式 【典例3】(1)在数列an中,a1=2,an+1=an+ln ,则an等于 ( ) A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn (2)若数列an满足a1=1,an+1=2nan,则数列an的通项公式an= .,【解题视点】(1)把已知转化为an+1-an=ln ,采用叠加的方 法. (2)把已知转化为 =2n,采用叠乘的方法.,【规范解答】(1)选A.由已知,an+1-an=ln ,a1=2, 所以an-an-1=ln (n2), an-1-an-2=ln , a2-a1=ln , 将以上n-1个式子叠加,得 an-a1= = =lnn. 所以an=2+lnn(n2),经检验n=1时也适合.故选A.,(2)由于 =2n,故 将这n-1个等式 叠乘得 故an= . 答案:,【易错警示】注意对n=1的检验 本例题(1)在利用递推公式求通项时限制了n2的条件,此时不要忽略检验n=1时是否成立,否则易出现错解.,【规律方法】典型的递推数列及处理方法,其中(1)an+1=pan+q(p0,1,q0)的求解方法是:设an+1+=p(an+),即an+1=pan+p-,与an+1=pan+q比较即可知 只要= . (2)an+1=pan+qpn+1(p0,1,q0)的求解方法是两端同时除以 pn+1,即得 =q,数列 为等差数列. 提醒:对于有些递推公式要注意参数的限制条件.,【变式训练】根据下列条件,确定数列an的通项公式: (1)a1=1,an+1=3an+2. (2)a1=1,an= an-1(n2). (3)a1=2,an+1=an+3n+2. 【解析】(1)因为an+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1),所以 =3, 所以数列an+1为等比数列,公比q=3, 又a1+1=2,所以an+1=23n-1,所以an=23n-1-1.,(2)因为an= an-1(n2), 所以an-1= an-2,a2= a1. 以上(n-1)个式子叠乘得 an= 当n=1时符合上式,所以an= . (3)因为an+1-an=3n+2,所以an-an-1=3n-1(n2), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1= (n2). 当n=1时,a1=2符合上式,所以an= .,【加固训练】 1.设数列an的前n项和为Sn,已知2an-2n=Sn,则数列an的通项公式an= . 【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn得2an+1-2n+1=Sn+1,- 整理得an+1=2an+2n,即 ,即数列 是首项为1,公 差为 的等差数列,故 故an=(n+1)2n-1. 答案:(n+1)2n-1,2.已知数列an中,a1=1,an+1= ,bn= ,则数列bn的 通项公式bn= . 【解析】由于an+1-2= -2= , +2, 即bn+1=4bn+2,bn+1+ =4(bn+ ).又a1=1,故b1= =-1. 所以 是首项为 ,公比为4的等比数列. bn+ = 4n-1,bn= 4n-1- . 答案: 4n-1-,考点4 数列的性质 【考情】因为数列可以看作是一类特殊的函数,所以数列也具备函数应具备的性质,因此,高考命题往往以数列作载体,用选择题、填空题的形式考查单调性、周期性等问题.,高频考点 通 关,【典例4】(1)(2014杭州模拟)已知数列an的通项公式为an= ,则数列an( ) A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项,(2)(2014台州模拟)已知数列xn满足xn+3=xn,xn+2= |xn+1-xn|(nN*),若x1=1,x2=a(a1且a0),则数列xn的前2015项的和S2015为( ) A.671 B.670 C.1342 D.1344,【解题视点】(1)构造f(n)=an-an-1,再利用二次函数的单调性求解. (2)推算出xn的周期,利用周期性简化计算.,【规范解答】(1)选C.因为数列an的通项公式为 an= 所以f(n)=an-an-1= f(n)是关于 (nN*)的二次函数,且二次项系数为负,自变 量 0, 从而对应图象是开口向下的抛物线上的一群孤立点, 所以数列先增后减,故有最大项和最小项,选C.,(2)选D.由题意x1=1,x2=a,x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4= |1-a-a|=|1-2a|,又x4=x1,所以|1-2a|=1,又因为a0, 所以a=1. 所以此数列为:1,1,0,1,1,0,其周期为3. 所以S2015=S6713+2=6712+2=1344.,【通关锦囊】,【通关题组】 1.(2013新课标全国卷)设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,若b1c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则( ) A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列 C.S2n-1为递增数列,S2n为递减数列 D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列,【解析】选B.因为an+1=an,bn+1= ,cn+1= , 所以an=a1,bn+1+cn+1= = (bn+cn)+an= (bn+cn)+a1, bn+1+cn+1-2a1= (bn+cn-2a1),注意到b1+c1=2a1,所以bn+cn=2a1. 于是AnBnCn中,边长BnCn=a1为定值,另两边的长度之和为 bn+cn=2a1为定值. 因为bn+1-cn+1= 所以bn-cn= (b1-c1),当n+时,有bn-cn0,即bncn,于是 AnBnCn的边BnCn上的高hn随n的增大而增大,于是其面积 Sn= |BnCn|hn= a1hn,所以Sn为递增数列.,2.(2013温州模拟)已知数列an,若a1=b(b0),an+1= (nN*),则能使an=b成立的n的值可能是( ) A.14 B.15 C.16 D.17,【解析】选C.因为an+1= ,所以an= , 代入上式得an+1= =-1+an-2+1=an-2. 所以周期T=3,因为a1=b,所以a16=a35+1=a1=b.,3.(2014绍兴模拟)已知数列an中,an= (nN*,aR,且a0). (1)若a=-7,求数列an中的最大项和最小项的值. (2)若对任意的nN*,都有ana6成立,求a的取值范围.,【解析】(1)因为an= (nN*,aR,且a0), 又因为a=-7,所以an=1+ 结合函数f(x)=1+ 的单调性,可知1a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN*). 所以数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.,(2)an= 因为对任意的nN*,都有ana6成立, 结合函数f(x)=1+ 的单调性, 所以5 6,所以-10a-8.,【加固训练】 1.对于数列an,“an+1|an|(n=1,2,)”是“数列an为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选B. 方法一:由an+1|an|(n=1,2,)知an从第二项起均为正项, 且a1|an|(n=1,2,),如-2, -1,0,1,2,. 所以“an+1|an|(n=1,2,)”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件.,方法二:因为an+1|an|(n=1,2,3,), 所以若a10,则an0(n=1,2,3,),此时an+1an,数列an是递增数列. 若a1an,数列an是递增数列. 但是,数列an是递增数列,不能得到an+1|an|,如-3,-2,1,2,3, 所以“an+1|an|(n=1,2,)”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件.,2.已知数列an满足a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为( ) A. B. C.10 D.21 【解析】选B.因为an+1-an=2n,所以an-an-1=2(n-1), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =(2n-2)+(2n-4)+2+33=n2-n+33(n2), 又a1=33适合上式,所以an=n2-n+33, 所以,令f(x)=x+ -1(x0),则f(x)=1- , 令f(x)=0得x= .所以当0 时,f(x)0, 即f(x)在区间(0, )上递减;在区间( ,+)上递增, 又5f(6),所以当n=6时, 有最小值 .,3.已知数列an. (1)若an=n2-5n+4, 数列中有多少项是负数? n为何值时,an有最小值?并求出最小值. (2)若an=n2+kn+4且对于nN*,都有an+1an,求实数k的取值范围.,【解析】(1)由n2-5n+4an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,所以 ,即得k-3.,【易错误区12】 an与Sn关系问题的易错点 【典例】(2013新课标全国卷)若数列an的前n项和 Sn= ,则an的通项公式是an= . 【解析】由Sn= 得, 当n2时,Sn-1= 所以当n2时,an=Sn-Sn-1= an- an-1, 化简得an=-2an-1,即 =-2. 又n=1时,S1=a1= a1+ ,a1=1, 所以数列an是首项a1=1,公比q=-2的等比数列. 所以an=(-2)n-1. 答案:(-2)n-1,【误区警示】 1.处未考虑到是n2时才成立的情况. 2.处忽略n=1时的情况导致解析不完整.,【规避策略】 1.重视分类讨论思想的应用,分n=1和n2两种情况讨论;特别 注意an=Sn-Sn-1中需n2. 2.由Sn-Sn-1=an推得an,要检验n=1时的情况,当n=1时,a1也适合 “an式”,则需统一“合写”;当n=1时,a1不适合“an式”,则数 列的通项公式应分段表示(“分写”),即an=,【类题试解】 1.已知数列an的前n项和Sn=3n-2,nN*,则( ) A.an是递增的等比数列 B.an是递增数列,但不是等比数列 C.an是递减的等比数列 D.an不是等比数列,也不单调,【解析】选B.根据题意,由于数列an的前n项和Sn=3n-2,nN*,那么可知当n=1时,则有首项为1,当n2时,an=Sn-Sn-1= 3n-3n-1=23n-1,nN*,故可知数列是递增数列,但不是等比数列,故答案为B.,2.数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,),则 an= . 【解析】因为an+1= Sn, 所以an= Sn-1(n2), 所以an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n2). 所以an+1= an(n2). 又a1=1,a2= S1= a1= , 所以an= (n2).,所以an= 答案:,【创新体验】数列的新定义问题 【典例】(2013湖南高考)对于E=a1,a2,a100的子集X= ,定义X的“特征数列”为x1,x2,x100,其中 其余项均为0,例如:子集a2,a3的“特征数列”为0,1,1,0,0,0. (1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前3项和等于 .,(2)若E的子集P的“特征数列”为p1,p2,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1i99. E的子集Q的“特征数列”为q1,q2,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1j98, 则PQ的元素个数为 .,【审题视点】,【解析】(1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前三项是1,0,1,故和为2. (2)根据题设条件,子集P的“特征数列”是1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1, 子集Q的“特征数列”是1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 发现p1=q1=1,p7=q7=1,p6i-5=q6i-5=1,于是令6n-5=97, 得n=17,所以PQ的元素个数为17. 答案:(1)2 (2)17,【创新点拨】 1.高考考情:以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高. 2.命题形式:常见的有新定义、新规则等.,【备考指导】 1.准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧抓题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆. 2.方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法.,【新题快递】 1.定义:若数列An满足An+1=An2,则称数列An为“平方递推数列”.已知数列an中,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上,其中n为正整数.证明:数列2an+1是“平方递推数列”.,【思路点拨】仔细审题,搞清题中所给的定义,结合新的定义进行推理与证明. 【证明】由条件得:an+1=2an2+2an, 所以2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2, 所以2an+1是“平方递推数列”.,2.设函数f(x)定义如表: 定义数列an:a0=2,an+1=f(an),nN. (1)求a1-a2+a3-a4+a2013-a2014. (2)若a1+a2+a3+an=1000,求n的值.,【解析】(1)由题意知a1=f(a0)=f(2)=4, a2=f(a1)=f(4)=5, a3=f(a2)=f(5)=1, a4=f(a3)=f(1)=3, a5=f(a4)=f(3)=2, a6=f(a5)=f(2)=4,数列an为周期数列,最小正周期为5,而a1-a2+a3-a4+a9-a10=0, a2011=a1=4, a2012=a2=5, a2013=a3=1, a2014=a4=3, 所以原式=a1-a2+a3-a4+-a2008+a2009-a2010+a2011-a2012+a2013-a2014=0+4-5+1-3=-3.,(2)因为一个周期内的和为15, 又1000=1566+10, a1+a2+a3=10, 所以n=665+3=333.,
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