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第六节 简单的三角恒等变换,【知识梳理】 1.半角公式,2sin2,2cos2,2,2.辅助角公式 asin x+bcos x= sin(x+)， 其中sin = ,cos = .,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： 当是第一象限角时， ； 对任意角， 都成立； 半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的； 公式 中的取值与a,b的值无关； 函数y=sin x+cos x的最大值为2. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错误.在第一象限时， 在第一或第三象限. 当 在第一象限时， ,当 在第三象限时， 错误.此式子必须使tan 有意义且1+cos 0.即 k + 且2k+,即(2k+1)(kZ). 正确.由半角公式推导过程可知正确. 错误.由 可知的取值与a,b的 值有关. 错误. 故其最大值为 .,2.已知 (，2)，则cos 等于( ) 【解析】选B.因为 (，2)，所以 所以,3.化简 等于( ) A.sin B.cos C.sin D.cos 【解析】选C.,4如果 ，且sin 那么 【解析】选D.因为 所以cos ， 而,5.函数y cos 4xsin 4x的最小正周期为_ 【解析】y cos 4xsin 4x 答案：,6.(2014湖州模拟)若 则 _. 【解析】 答案：2 014,考点1 利用三角恒等变换化简求值 【典例1】(1)已知450540，则 的 值是( ) (2)化简：sin 2sin 2+cos 2cos 2- cos 2 cos 2_.,【解题视点】(1)利用倍角公式化简. (2)从角、名、形、次数统一等几个方面入手进行化简.,【规范解答】(1)选A.原式 因为450540，所以225 270. 所以原式sin .故选A.,(2)方法一:(从“角”入手，复角单角) 原式=sin2sin2+cos2cos 2- (2cos2-1) (2cos2-1) =sin 2sin 2+cos 2cos 2- (4cos 2cos2 -2cos 2-2cos 2+1) =sin 2sin 2-cos 2cos 2+cos 2+cos 2- =sin 2sin 2+cos 2sin 2+cos 2- =sin 2+cos 2- =1- = .,方法二:(从“名”入手,异名化同名) 原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2- cos2cos2 =cos2-sin2(cos2-sin2)- cos2cos2 =cos2-sin2cos2- cos2cos2 =cos2-cos2(sin2+ cos 2),方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式=,方法四:(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方) 原式=(sin sin -cos cos )2+2sin sin cos cos - cos 2cos 2 =cos 2(+)+ sin 2sin 2- cos 2cos 2 =cos 2(+)- cos(2+2) =cos2(+)- 2cos 2(+)-1= . 答案：,【规律方法】 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”等.,2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角;降幂或升幂. 提醒:在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.,三角函数式化简的要求 (1)能求出值的应求出值. (2)尽量使函数种数最少. (3)尽量使项数最少. (4)尽量使分母不含三角函数. (5)尽量使被开方数不含三角函数.,【变式训练】化简: 【解析】原式 因为0,所以 ,所以 所以原式=-cos . 答案：-cos ,【加固训练】 1.化简： 【解析】原式 答案：,2.化简： 【解析】原式 答案：,考点2 三角恒等变换在实际问题中的应用 【典例2】如图,现要在一块半径为1 m,圆心 角为 的扇形报纸AOB上剪出一个平行四边 形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M，N 在OB上,设BOP,平行四边形MNPQ的面积为S. (1)求S关于的函数关系式. (2)求S的最大值及相应的角.,【解题视点】虽然P点变化但OP不变，通过构造 与角所在 的直角三角形，将平行四边形的底和高用角表示，从而求出 S关于的函数关系式，进而求解相关问题.,【规范解答】(1)分别过P，Q作PDOB于D，QEOB于E， 则四边形QEDP为矩形. 由扇形半径为1 m，得PD=sin ,OD=cos . 在RtOEQ中, OE= QE= PD, MN=QP=DEODOE cos sin , S=MNPD=(cos sin )sin =sin cos sin 2,(0, ).,(2)S= sin 2 (1cos 2) = sin 2+ cos 2 = sin(2+ ) , 因为 所以 当= 时，Smax= (m2).,【互动探究】在本例中若点M与O重合，图形变为下图，记平行四边形ONPQ的面积为S.求S的最大值.,【解析】如图，过P作PDOB于D，则 由扇形半径为1 m，得PD=sin ，OD=cos , 在RtPND中, 因为PND=AOB= , 所以 ONODNDcos sin ,S=ONPD=(cos sin )sin =sin cos sin 2= sin 2 (1cos 2) = sin 2+ cos 2 = sin(2+ ) ， 因为(0, )， 所以2+ ( )，sin(2+ )( ,1. 当= 时,Smax= (m2).,【易错警示】关注变量的范围 本例在求解时容易忽略的范围而直接求最值，导致错解，在解决实际问题时，要关注变量的范围，否则容易出错.,【规律方法】三角函数应用题的处理方法 (1)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题. (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题.,【变式训练】(2014吉安模拟)已知直线l1l2,A是l1,l2之间的一定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作ACAB,且使AC与直线l1交于点C,则ABC面积的最小值为 .,【解析】如图，设ABD，则 CAE， 所以SABC ABAC (0 ). 当2 ，即 时，SABC的最小值为h1h2. 答案：h1h2,【加固训练】 1.(2014台州模拟)如图，已知四边形ABCD 中ABCD，ADAB，BPAC，BP=PC，CDAB， 则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合 的是( ) A.AB与AD B.AB与BC C.BD与BC D.AD与AP,【解析】选D.设AB=a,CAB=,则AP=acos ,PC=BP=asin , AC=a(cos +sin ),AD=ACsin =a(cos +sin )sin , CD=ACcos =a(cos +sin )cos ，因为CDAB,故 cos2+sin cos 1，即sin（2+ ） , 即 ，故0 . A选项：假设AB=AD，则有sin2+sin cos =1, 即 ，无解.,B选项：假设AB=BC，则有 sin =1,则sin = ，无解. C选项：假设BD=BC，则有 sin 即1+2sin3cos =sin2，无解. D选项：假设AD=AP，则有sin2+sin cos =cos ,令 f()=sin2+sin cos -cos = 则f(0)=-10, 故必存在0使得:f(0)=0， 故AD与AP可能重合.D选项正确.,2.(2013三亚模拟)如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B,C两点在圆弧上，OE是 POQ的平分线，连接OC，记COE=，问：角为何值时矩 形ABCD面积最大，并求最大面积.,【解析】设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在 RtONC中，CN=sin ,ON=cos . 所以MN=ONOM=cos sin ， 即AB=cos sin ,所以BC=2CN=2sin ,故S矩形=ABBC=(cos sin )2sin =2sin cos 2 sin 2=sin 2 (1cos 2) =sin 2+ cos 2 =2sin（2+ ） . 因为0 ,所以02 , 2+ , 故当2+ = ,即= 时，S矩形取得最大值，此时S矩形= 2 .,考点3 三角恒等变换在研究图象性质中的应用 【考情】利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点.在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013湖北高考)将函数y= cos x+sin x(xR) 的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对 称，则m的最小值是( ) (2)(2014杭州模拟)若函数f(x)= 则函数f(x)是( ) A.周期为的偶函数 B.周期为2的偶函数 C.周期为2的奇函数 D.周期为的奇函数,【解题视点】(1)将函数化为y=Asin(x)的形式再求解. (2)降幂将角统一再化为y=Asin(x)的形式后进行判断,【规范解答】(1)选B.由已知 当m= 时，平移后函数为y=2sin(x+ )=2cos x，其图象关于 y轴对称，且此时m最小. (2)选D.f(x)= = 因此f(x)的周期T= =，且f(x)是 奇函数.,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014舟山模拟)函数f(x)=sin 2x-4sin3xcos x(xR)的 最小正周期为( ) 【解析】选C.f(x)=sin 2x-4sin3xcos x=2sin xcos x- 4sin3xcos x=2sin xcos x(1-2sin2x)=sin 2xcos 2x= sin 4x， 所以函数f(x)的最小正周期,2.(2014郑州模拟)已知函数f(x)= 则f(x)( ) A.周期为,且图象关于点( ,0)对称 B.最大值为2，且图象关于点( ,0)对称 C.周期为2,且图象关于点(- ,0)对称 D.最大值为2，且图象关于x= 对称,【解析】选B.f(x)=,因为xR,所以 所以-1sin(x- )1,则f(x)的最大值为2. 因为=1,所以周期T= =2. 当x- =k(kZ)时，f(x)图象关于某一点对称， 所以当k=0时，求出x= ,即f(x)图象关于( ,0)中心对称， 故选B.,3.(2013新课标全国卷)设当x=时,函数f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则cos= . 【解析】f(x)=sin x-2cos x= sin(x+)，其中tan = -2，当x+=2k+ 时，函数f(x)取得最大值，即=2k+ -.所以cos =cos( -)=sin ，又因为tan =-2， 在第四象限，所以sin =- ，即cos =- . 答案：-,4.(2013温州模拟)函数y=(acos x+bsin x)cos x有最大值 2，最小值-1，则实数(ab)2的值为_. 【解析】y=acos2x+bsin xcos x 所以 所以a=1,b2=8，所以(ab)2=8. 答案：8,【加固训练】 1.(2014泰安模拟)已知函数f(x)= sin x-cos x，xR， 若f(x)1，则x的取值范围为( ),【解析】选B.根据题意，得f(x)2sin (x- )，f(x)1，所 以2sin (x- )1，即sin (x- ) ，由图象可知满足 解得 2kx2k (kZ),2.(2013南宁模拟)设a=sin 14+cos 14，b=sin 16 +cos 16，c= .则a，b，c按从小到大的顺序排列为 【解析】a=sin 14+cos 14= sin 59， b=sin 16+cos 16 sin 61，c sin 60. 因为596061，所以sin 59sin 60sin 61， 所以acb. 答案：acb,3.(2011上海高考)函数 的最大值 为 . 【解析】 故函数的最大值是 答案：,4.(2012北京高考)已知函数f(x)= (1)求f(x)的定义域及最小正周期. (2)求f(x)的单调递减区间.,【解析】(1)由sin x0，得xk,kZ，所以定义域为x|xk,kZ. f(x)= =2sin xcos x-2cos2x =sin 2x-cos 2x-1= 所以最小正周期T= =.,【规范解答3】三角变换在研究三角函数中的应用 【典例】(14分)(2013陕西高考)已知向量a=(cos x, ), b=( sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤,水到渠成 (1)f(x)=ab=cos x sin x cos 2x2分 = =sin（2x ）,5分 最小正周期T= =. 所以f(x)=sin（2x ）的最小正周 期为.7分,(2) ,9分 由正弦曲线y=sin x在 上的图象知， ,即x= 时，f(x)取得最大值1; 当 ,即x=0时，f(x)取得最小值- .13分 所以，f(x)在 上的 最大值和最小值分别为1, . 14分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练，能力迁移 已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间. (2)求函数f(x)在 上的最小值.,【解析】(1) 所以函数f(x)的最小正周期为2. 由 得 则函数f(x)的单调递减区间是,(2)由 ，得 则当 即x= 时，f(x)取得最小值 .,
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