资源描述
文数 课标版,第六节 双曲线,1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1 F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ,两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 . 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a0,c0.,教材研读,(1)当 2a|F1F2| 时,P点不存在.,2.双曲线的标准方程和几何性质,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于8的点的轨迹是双曲线. () (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双 曲线. () (3)方程 - =1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线. () (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 . () (5)双曲线方程 - =(m0,n0,0)的渐近线方程是 - =0,即 ,=0. (),1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4 答案 C 双曲线2x2-y2=8的标准方程为 - =1,故实轴长为4.,2.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 ( ) A. B. C. D.( ,0) 答案 C 原方程可化为 - =1, a2=1,b2= ,c2=a2+b2= ,右焦点坐标为 .,3.若双曲线E: - =1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且 |PF1|=3,则|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 答案 B |PF1|=3a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得 |PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.,4.“ab0和a0,b0时,方 程 + =1表示焦点在y轴上的双曲线;当a0,b0, b0,则ab0.由此可得,“ab0”是“方程 + =1表示焦点在x轴上的 双曲线”的必要而不充分条件.故选B.,5.若点P(2,0)到双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线的距离为 ,则 双曲线的离心率为 ( ) A. B. C.2 D.2 答案 A 双曲线的渐近线方程为bxay=0,点P(2,0)到渐近线的距离为 = ,所以a2=b2,所以c2=2a2,所以双曲线的离心率为 ,故选A.,6.设中心在原点的双曲线与椭圆 +y2=1有公共的焦点,且它们的离心 率互为倒数,则该双曲线的方程是 .,答案 2x2-2y2=1 解析 椭圆的焦点为(1,0),双曲线的焦点为(1,0).椭圆的离心 率e= ,双曲线的离心率e= . 双曲线中c2=2a2,1=2a2,a2= , 又双曲线中b2=c2-a2,b2= ,所求双曲线的方程为2x2-2y2=1.,考点一 双曲线的定义及标准方程 典例1 (1)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1| =2|PF2|,则cosF1PF2= ( ) A. B. C. D. (2)已知双曲线 - =1(a0,b0)和椭圆 + =1有相同的焦点,且双曲 线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 . 答案 (1)C (2) - =1 解析 (1)双曲线方程可化为 - =1,a=b= ,c=2.由,考点突破,得|PF1|=4 ,|PF2|=2 ,由余弦定理得cosF1PF2= = .故选C. (2)由题易得椭圆焦点为( ,0),离心率为 , 在双曲线中有a2+b2=7且e= = , 结合a2+b2=c2解得a2=4,b2=3, 双曲线的方程为 - =1.,方法技巧 (1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即 “到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一个常数,且该常数必须小于 两定点间的距离”.若去掉定义中的“绝对值”,则点的轨迹是双曲线 的一支.同时注意定义的转化应用. (2)求双曲线方程时,一是注意标准形式的判断;二是注意a、b、c的关 系.,变式1-1 若将本例(1)中的条件“|PF1|=2|PF2|”改为“F1PF2=60”, 则F1PF2的面积是多少? 解析 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 , 在F1PF2中,由余弦定理,得 cosF1PF2= = , 所以|PF1|PF2|=8, 所以 = |PF1|PF2|sin 60=2 .,1-2 过双曲线C: - =1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相 交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标 原点),则双曲线C的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 A 由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程 为y= x,因此可设点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4, 且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2, 所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a= =2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程 为 - =1,故选A.,考点二 双曲线的几何性质 命题角度一 双曲线的离心率问题 典例2 (2016山东,14,5分)已知双曲线E: - =1(a0,b0).矩形ABCD 的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的 离心率是 . 答案 2,解析 由已知得|AB|=|CD|= ,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所 以 =6c,2b2=3ac, =3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=- (舍去).,典例3 (1)已知双曲线的渐近线方程为y= x,且经过点A(2,-3),则双曲 线的标准方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 (2)过双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切 点为A,B,双曲线左顶点为C,若ACB=120,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x,命题角度二 双曲线的渐近线问题,答案 (1)B (2)A,解析 (1)由题意设双曲线的方程为x2-4y2=(0).,因为点A(2,-3)在双曲线上,所以4-4(-3)2=, 解得=-32,故双曲线的方程为 - =1. (2)如图所示,C(-a,0),连接OA,OB,设双曲线 - =1(a0,b0)的焦距为 2c(c0),则F(-c,0). 由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,则ACO=BCO=,ACB= 120=60. 因为|OA|=|OC|=a,所以ACO为等边三角形, 所以AOC=60. 因为FA与圆O切于点A,所以OAFA, 在RtAOF中,AFO=90-AOF=90-60=30, 所以|OF|=2|OA|,即c=2a, 所以b= = = a, 故双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为y= x= x.,典例4 (1)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4,-2),则它的离心率为 ( ) A. B. C. D. (2)过双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 . 答案 (1)D (2)2+ 解析 (1)设双曲线的标准方程为 - =1(a0,b0), 所以其渐近线方程为y= x,因为点(4,-2)在渐近线上, 所以 = ,根据c2=a2+b2,可得 = ,e2= ,即e= .,命题角度三 离心率与渐近线的综合问题,(2)如图所示,不妨令与渐近线平行的直线的斜率为 ,又直线过右焦点 (c,0),则直线的方程为y= (x-c). 把点P的横坐标2a代入双曲线方程得 - =1,解得y=- b或y= b(点 P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,- b),代入直线方程得- b= (2a-c),化简可得离心率e= =2+ .,典例5 (2015课标全国,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上的一 点,F1,F2是C的两个焦点.若 0,则y0的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 若 =0,则点M在以原点为圆心,半焦距c= 为半径的圆 上,则 解得 = .可知: 0点M在圆x2+y2=3的内部 y0 .故选A.,命题角度四 求参数或变量的取值范围,规律总结 (1)求双曲线离心率或离心率范围的方法:一种是直接建立e的关系式求 e或e的范围;另一种是建立a,b,c的齐次关系式,将b用a,c表示,令两边同 除以a或a2化为e的关系式,进而求解. (2)方程 - =1与 - =1,当a1+b1=a2+b2时焦距相等,当 = 时渐近 线相同. (3)双曲线 - =1的渐近线方程为 - =0.,2-1 已知F是双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点,O是双曲线C的中 心,直线y= x是双曲线C的一条渐近线,以线段OF为边作正三角形 AOF,若点A在双曲线C上,则m的值为 ( ),A.3+2 B.3-2 C.3+ D.3- 答案 A 由题意知 = ,m= ,A 在双曲线上,故 - =1, 得m=3+2 (舍负),故选A.,2-2 已知P是双曲线 - =1右支上任意一点,M是圆(x+5)2+y2=1上任 意一点,设P到双曲线的渐近线的距离为d,则d+|PM|的最小值为 . 答案 9 解析 设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,根据题意可得d+|PM|d+ |PF1|-1=d+6+|PF2|-1=d+|PF2|+5,结合图象(图略)可知d+|PF2|的最小值为F2 到渐近线的距离,因为F2到渐近线的距离为4,所以d+|PM|的最小值为9.,考点三 直线与双曲线的位置关系 典例6 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为( ,0). (1)求该双曲线C的方程; (2)若直线l:y=kx+ 与双曲线C左支有两个不同的交点A,B,求k的取值范 围. 解析 (1)由题意设双曲线方程为 - =1(a0,b0).由已知得a= ,c= 2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线C的方程为 -y2=1. (2)设A(xA,yA),B(xB,yB), 将y=kx+ 代入 -y2=1,得(1-3k2)x2-6 kx-9=0. 由题意知 解得 k1. k的取值范围为 k1.,方法技巧 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的方法:将直线方程代入双曲线方 程,消元,得关于x或y的方程,当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交 于某支上一点;当二次项系数不等于0时,用判别式来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的有关问题.,3-1 已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交 于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为 . 答案 - =1 解析 设双曲线E的方程为 - =1(a0,b0), 由题意知c=3,则a2+b2=9. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 得 = = = ,
展开阅读全文