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第七节 双 曲 线,【知识梳理】 1.双曲线的定义,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或x-a,y-a或ya,坐标轴,原点,坐标轴,原点,(-a,0),(a,0),(0,-a),(0,a),(1,+),2a,2b,a2+b2,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线; 平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线; 方程 表示焦点在x轴上的双曲线;,双曲线方程 的渐近线方程是 即 等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.错误.由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部. 错误.因为|MF1|-|MF2|=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线. 错误.当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m0,n0时则表示焦点在y轴上的双曲线.,正确.因为 的渐近线方程为 即 所以当0时, 的渐近 线方程为 即 即 同理当0)的渐近线方程为x2-y2=0,即 y=x,显然两直线互相垂直,其实轴、虚轴长均为2a,所以 所以,2.已知双曲线方程为 则此双曲线的右焦点坐标为 ( ) A.(1,0) B.(5,0) C.(7,0) D.( ,0) 【解析】选D.双曲线方程为 其中a2=4,b2=3,焦点在 x轴上,此双曲线的右焦点坐标为,3.设F1,F2分别是双曲线 的左、右焦点.若点P在双曲线上,且|PF1|=5,则|PF2|=( ) A.5 B.3 C.7 D.3或7 【解析】选D.因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF2|=7或3.,4.若F(5,0)是双曲线 (m是常数)的一个焦点,则m的值为( ) A.3 B.5 C.7 D.9 【解析】选D.由题意16+m=25,所以m=9.,5.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=4x,则该双曲 线的离心率为 . 【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=4x,所 以b=4a,c2=17a2, 答案:,考点1 双曲线的定义及其应用 【典例1】(1)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P 在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=( ) (2)已知双曲线 的左、右焦点为F1,F2,点P为左支上一 点,且满足F1PF2=60,则F1PF2的面积为 .,(3)(2013辽宁高考)已知F为双曲线C: 的左焦点, P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为 .,【解题视点】(1)由双曲线的定义及|PF1|=2|PF2|可求出|PF1|, |PF2|的长,在F1PF2中利用余弦定理即可求出cosF1PF2的值.(2)因为F1PF2=60,只要想法求出|PF1|与|PF2|的乘积即可.(3)可想法求出|FP|+|FQ|,再求周长.,【规范解答】(1)选C.双曲线的方程为 所以a=b c=2, 因为|PF1|=2|PF2|,所以点P在双曲线的右支上, 则有|PF1|-|PF2|=2a= 所以|PF2|= |PF1|= 所以cosF1PF2= 选C.,(2)设|PF1|=m,|PF2|=n, 所以 所以mn=4,所以 答案:,(3)显然,点A为双曲线的右焦点,P,Q都在双曲线的右支上,|PQ|=16,由双曲线的定义得:|FP|-|PA|=6,|FQ|-|QA|=6,两式相加, |FP|+|FQ|-|PA|-|QA|=12, 即|FP|+|FQ|-|PQ|=12,所以|FP|+|FQ|=28, 所以PQF的周长为|FP|+|FQ|+|PQ|=44. 答案:44,【互动探究】本例题(2)中若将条件“F1PF2=60”改为 “ =0”,则结果如何? 【解析】由 得,PF1PF2,即F1PF2为直角三角形, 设|PF1|=m,|PF2|=n,则有 因此mn=2,所以 答案:1,【易错警示】使用双曲线定义时的易错点 本例第(1)题在求解时要注意判断P的位置,否则容易得到错误的结论,在使用双曲线定义时,一定要注意点在双曲线的哪一支上,距离之差是正值还是负值.,【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧:经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1|PF2|的联系.,【变式训练】 1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左支 C.双曲线右支 D.一条射线 【解析】选C.因为|PM|-|PN|=3|PN|, 所以点P的轨迹为双曲线的右支.,2.双曲线 的焦点分别为F1,F2,过F1作直 线交双曲线的左支于A,B两点,且|AB|=m,则ABF2的周长为 .,【解析】由 |AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a, 又|AF1|+|BF1|=|AB|=m, 所以|AF2|+|BF2|=4a+m. 那么ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m. 答案:4a+2m,【加固训练】 1.(2013成都模拟)已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|PA|- |PB|=3,则|PA|的最小值为( ) 【解析】选C.由|PA|-|PB|=3知P点的轨迹是以A,B为焦点的 双曲线一支, 因为2a=3,2c=4,所以 所以|PA|min= 故选C.,2.(2013广州模拟)已知F1,F2是双曲线 的焦点,过焦点F1的直线与双曲线左支交于P,Q两点,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值是 .,【解析】因为双曲线方程为 所以2a=8.由双曲线的定义得 |PF2|-|PF1|=2a=8, |QF2|-|QF1|=2a=8. +,得|PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=16. 所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=16. 答案:16,考点2 双曲线的标准方程和几何性质 【典例2】(1)(2013新课标全国卷)已知双曲线C: (a0,b0)的离心率为 则C的渐近线方程为( ) (2)(2013湖北高考)已知0 ，则双曲线C1： 与C2： 的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等,【解题视点】(1)根据题目中给出的离心率确定a与c之间的关系,再利用c2=a2+b2确定a与b之间的关系,即可求出渐近线方程. (2)分别表示出双曲线C1和C2的a2,b2,c2,e2,最后比较即可.,【规范解答】(1)选C.离心率 所以 由双曲线方程知焦点在x轴上,故渐近线方程为 (2)选D.双曲线C1中a2=sin2,b2=cos2,c2=1,e2= , 双曲线C2中a2=cos2,b2=sin2,c2=1,e2= ,所以焦距 相等.,【规律方法】 1.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 (1)已知双曲线的离心率e,则有 但要注意焦点位置的判断. (2)已知双曲线的渐近线方程为y=mx(m0),求离心率时,要注意双曲线焦点位置,焦点不同结果可能不同. 提醒:在处理双曲线的离心率问题时,要注意双曲线离心率e1这个条件.,2.双曲线的几何性质的三大关注点 (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点. (2)“四线”:两对称轴(实、虚轴),两渐近线. (3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形,双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的焦点三角形.,双曲线的方程的设法 (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其方程可设为 Ax2+By2=1(AB0),这种形式在解题时更简便. (2)当已知双曲线的渐近线方程bxay=0,求双曲线方程时,可 设双曲线方程为b2x2-a2y2=(0). (3)与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为,【变式训练】 1.(2014西安模拟)已知双曲线 (a0,b0)的一个焦 点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于 则该 双曲线的方程为( ),【解析】选D.因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以双曲 线的焦点为(1,0),即双曲线中c=1,又因为双曲线的离心率为 所以 即 所以双 曲线的方程为 即,2.(2014绍兴模拟)已知双曲线 (a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为H,若F2H的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为 .,【解析】依题意得：双曲线的渐近线方程为 所以 F2H的方程为: F2H的中点A的坐标为 代入双曲线方程得,答案：,【加固训练】 1.与椭圆 共焦点,且离心率互为倒数的双曲线方程 是( ) 【解析】选A.椭圆的焦点为(0,2),(0,-2), 由题意,令双曲线方程为 则 所以a=1, 所以双曲线方程为,2.已知F1,F2是双曲线 (a0,b0)的两焦点,以线段 F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲 线的离心率为( ) 【解析】选D.(数形结合法)因为MF1的中点P在双曲线上, |PF2|-|PF1|=2a,MF1F2为正三角形,边长都是2c,所以 所以 故选D.,考点3 双曲线与直线、圆及其他圆锥曲线的综合 【考情】双曲线作为一种独特的圆锥曲线,在高考中与其他圆锥曲线的要求不同,双曲线与其他圆锥曲线结合成为高考命题的亮点.主要以选择题、填空题的形式出现,考查双曲线的标准方程、几何性质以及其他圆锥曲线的方程及几何性质,考查学生分析问题、解决问题的能力.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013浙江高考)如图, F1,F2是椭圆C1: 与双曲线C2 的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、 四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩 形,则C2的离心率是( ),(2)(2014金华模拟)点P是双曲线C1: 与圆x2+y2=a2+b2的一个交点,且2PF2F1=PF1F2,其中F1,F2分别为双曲线C1的左、右焦点,则双曲线C1的离心率为( ),【解题视点】(1)由已知条件求解双曲线中的a,b,c或是它们 之间的关系.(2)注意双曲线的焦点F1,F2是圆x2+y2=a2+b2直径 的两个端点,因此F1PF2为直角三角形,且F1PF2=90,在RtF1PF2中注意|F1F2|=2c,|PF2|= |PF1|=c,进而可求出 离心率.,【规范解答】(1)选D.设双曲线实半轴长为a,焦半距为c, |AF1|=m,|AF2|=n,由题意知 2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4,(m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=m-n= 则双曲线的离心率 故选D.,(2)选A.如图:因为双曲线C1: 的 焦点F1 F2 而圆 x2+y2=a2+b2的半径 因此F1PF2 为直角三角形,又2PF2F1=PF1F2,所以PF1F2=60,PF2F1=30,|F1F2|=2r=2c,|PF2|= |PF1|=c,由双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|= 双曲线的离心率,【通关锦囊】,【特别提醒】双曲线与直线的位置关系,仅仅靠判别式判定容易出错,一定要注意数形结合及渐近线的斜率等.,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014温州模拟)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点 F1(-2,0),F2(2,0),椭圆的一个短轴端点为B,直线F1B与双曲线的一条渐近线平行,椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,则e1+e2的取值范围为( ) A.2,+) B.4,+) C.(4,+) D.(2,+),【解析】选D.设椭圆中的长、短半轴分别为a1,b1,双曲线中的 实、虚半轴分别为a2,b2,则有：,2.(2014台州模拟)过双曲线 的左焦点 F(-c,0)(c0)作圆 的切线,切点为E,延长FE交双曲 线右支于点P,若 则双曲线的离心率为( ),【解析】选C.设双曲线的右焦点为A,则 故 即|OE|= |AP|.所以E是PF的中点,所以 |AP|=2|OE|= 所以|PF|=3a.在RtAPF中,a2+(3a)2= (2c)2,即10a2=4c2,所以 即离心率为 选C.,3.(2012福建高考)已知双曲线 的右焦点与抛物线 y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( ) A. B. C.3 D.5 【解析】选A.易求得抛物线y2=12x的焦点为(3,0),故双曲线 的右焦点为(3,0),即c=3,故32=4+b2,所以b2=5,所以 双曲线的渐近线方程为 所以双曲线的焦点到其渐近 线的距离为,【加固训练】 1.(2013锦州模拟)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( ),【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),双曲线方程为 (a0,b0),AB过F,斜率 因为 =1, 所以两式作差有 =0,所以4b2=5a2.又因为a2+b2=9,所以a2=4,b2=5,故选B.,2.(2013烟台模拟)已知双曲线 的左顶点为A1,右焦 点为F2,P为双曲线右支上一点,则 的最小值为( ) A.-2 B. C.1 D.0,【解析】选A.设点P(x,y),其中x1.依题意得A1(-1,0), F2(2,0),则有 y2=3(x2-1), =(-1-x,-y)(2-x,-y) =(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2 =4x2-x-5= 其中x1. 因此,当x=1时, 取得最小值-2,选A.,【易错误区19】求双曲线离心率的易错点 【典例】(2014天津模拟)已知双曲线 的一 条渐近线方程为 则该双曲线的离心率为 .,【解析】 当m0 ，n0时， 当m0，n0时， 综上可知：该双曲线的离心率为 答案：,【误区警示】 1.处未考虑m，n的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情 况. 2.处易将 弄错，从而导致失分.,【规避策略】 1.对于 方程表示的曲线一定要视m，n的不同取值进 行讨论，m，n的取值不同表示的曲线就不同. 2. 对于双曲线 的焦点位置不同，则 的值 就不一样，一定要注意区分.,【类题试解】双曲线的两条渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为_.,【解析】渐近线斜率是 而夹角是60.因为两直线关于x 轴对称，所以和x轴夹角是30或60.即 或 若 若 b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，e2=4，e=2. 答案：2或,
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