资源描述
,第6节 正弦定理和余弦定理及其应用,基 础 梳 理,1正、余弦定理,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin B,质疑探究1：在三角形ABC中，“AB”是“sin Asin B”的什么条件？“AB”是“cos AB”是“sin Asin B”的充要条件，“AB”是“cos Acos B”的充要条件,质疑探究2：在三角形中，“a2b2c2”是“ABC为锐角三角形”的什么条件？ 提示：“a2b2c2”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件,3解三角形在测量中的常见题型 (1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 (2)有关测量中的几个术语 仰角和俯角：与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图(1)所示),答案：D,2(2013年高考陕西卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定,答案：B,答案：32,考 点 突 破,利用正、余弦定理解三角形,思维导引 (1)在RtBPC中求出PBC，从而求出PBA.然后在PBA中利用余弦定理求解即可(2)设PBA，表示出PAB，PCB，PBC中表示出PB，然后在PAB中由正弦定理求解即可,利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理，有时需结合图形分析求解，有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角定理等确定解的个数,例2 (2013年高考新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B. (1)求B； (2)若b2，求ABC面积的最大值 思维导引 (1)利用正弦定理将已知等式转化为关于角的关系式，结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简求B.(2)结合余弦定理、基本不等式及三角形面积公式求解,与三角形面积有关的问题,利用正、余弦定理判定三角形形状,依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状,(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解,即时突破3 (2012年高考上海卷)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定,用正、余弦定理解决实际问题,利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤： (1)分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图； (2)建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； (3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解,即时突破4 如图所示，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处然后以同样的速度沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛 (1)求A、C两岛之间的距离； (2)求BAC的正弦值,解：(1)在ABC中，由已知，得 AB10550(海里)，BC10330(海里)， ABC1807515120， 由余弦定理，得AC250230225030cos 1204900，所以AC70(海里) 故A、C两岛之间的距离是70海里,分析：(1)在ABC中ACB，利用诱导公式及三角恒等变换公式化简整理即可(2)由正弦定理及三角形中“abAB”解出B，再由余弦定理求出边c，最后利用向量投影公式求解即可,命题意图：本题主要考查了三角恒等变换，利用正、余弦定理解三角形和向量的数量积等基础知识，以上知识点都是高考必考内容，近几年高考一般是其中两个或三个知识点交汇命题，难题中低档，预计2015年高考仍将侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，在复习时应给予重视,
展开阅读全文