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,第8节 函数与方程,基 础 梳 理,1.函数的零点,f(x)0,实数根,x轴,零点,f(a)f(b)0,质疑探究：当函数yf(x)在(a，b)内有零点时，是否一定有f(a)f(b)0.,2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系,1函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 解析：易知f(x)2x3x在R上是增函数 而f(2)2260， f(1)f(0)0， 故函数f(x)在区间(1,0)上有零点故选B. 答案：B,答案：B,3(2014北京西城二模)已知函数f(x)e|x|x|.若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( ) A(0,1) B(1，) C(1,0) D(，1) 解析：函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)exx单调递增，故在0，)上函数f(x)的最小值为f(0)1，故函数f(x)在R上的最小值为1.若方程f(x)k有两个不同的实根，则k1，故选B. 答案：B,4(2014北京朝阳区一模)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x2)f(x)当x0,1时，f(x)2x.若在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_ 解析：由f(x2)f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在2,3上的图象如图所示直线yax2a过定点(2,0)，在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，等价于直线yax2a与函数yf(x)的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a2a2，,考 点 突 破,例1 (1)(2012年高考天津卷)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是( ) A0 B1 C2 D3,函数零点的个数问题,思维导引 (1)根据函数的零点存在性定理和函数的单调性确定(2)画出函数yf(x)，ykxk的图象，利用数形结合的方法寻找实数k满足的不等式求解 解析 (1)因为函数f(x)2xx32在R上是增函数，又f(0)1210，所以根据零点的存在定理可知在区间(0,1)内函数的零点个数为1，故选B.,判断函数yf(x)零点个数的常用方法：(1)直接法令f(x)0，则方程实根的个数就是函数零点的个数 (2)零点存在性定理法判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数 (3)数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数),确定函数零点所在的区间,在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题,例3 (2014广东广州一模)已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式成立的是( ) Af(a)f(1)f(b) Bf(a)f(b)f(1) Cf(1)f(a)f(b) Df(b)f(1)f(a),函数零点与其他问题的综合,思维导引 已知函数f(x)，g(x)均是定义域上的单调递增函数，其零点是唯一的，使用函数零点的存在定理判断a，b,1之间的大小关系后，根据函数f(x)的单调性确定结论 解析 函数f(x)，g(x)均为定义域上的单调递增函数，且f(0)10，g(1)10，所以a(0,1)，b(1，e)，即a1b，所以f(a)f(1)f(b)故选A.,函数零点和其他知识相互结合的问题很广泛，但其中的关键还是对函数零点或其范围的确定，在解题中，要善于使用函数零点的存在性定理、数形结合等方法确定函数零点或范围,即时突破3 (2014山西大学附中模拟)规定记号“”表示一种运算，即：aba22abb2，设函数f(x)x2.且关于x的方程为f(x)lg|x2|(x2)恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的值是( ) A4 B4 C8 D8,解析：由题意函数f(x)x24x4，由于函数yf(x)、函数ylg|x2|的图象均关于直线x2对称，故四个根之和为8.故选D.,数形结合思想在函数零点问题中的应用,分析：作出函数f(x)在一个周期1,3上的图象，根据周期性拓展函数图象，再作出函数ymx的图象，数形结合找出两个函数图象有5个公共点时实数m满足的不等式解之即得,数形结合思想的本质是转化，即把数的问题转化为形的问题直观解决，或者把形的问题转化为数的问题加以解决，如本题就是利用形(函数的图象)直观判断直线ymx的大致位置，建立关于m的不等式，利用代数运算(解不等式)求得m的范围在函数与方程问题中利用数形结合思想可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象的交点问题加以解决,
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