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,第2节 函数的单调性、奇偶性、周期性,基 础 梳 理,1函数的单调性 (1)定义：如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数若函数yf(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有(严格的) ，这一区间叫做函数f(x)的 ，此时也说函数是这一区间上的 函数,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),单调性,单调区间,单调,增函数,减函数,质疑探究1：若函数f(x)在区间C和区间D上都是增(减)函数，则函数f(x)在区间CD上是增(减)函数吗？,(3)判断函数单调性的方法：,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升,下降,大于,小于,相同,相反,2.函数的最值,3.函数的奇偶性 (1)定义：一般地，对于函数f(x)的定义域内的 一个x，都有_，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，对于函数f(x)的定义域内的_一个x，都有_，那么f(x)就叫做奇函数,任意,f(x)f(x),任意,f(x)f(x),(2)函数奇偶性的性质： 奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称； 奇函数在关于坐标原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 ；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 ； 在公共定义域上两个偶函数之和是 函数，两个奇函数之和是 函数，两个偶函数之积是 函数，两个奇函数之积是 函数奇函数与偶函数之积为奇函数,坐标原点,y轴,相同,相反,偶,奇,偶,偶,质疑探究2：如果函数f(x)是奇函数，那么是否一定有f(0)0? 提示：只有在x0处有定义的奇函数，才有f(0)0.,4函数的周期性 (1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在不为零的常数T，使得对于定义域内的任意一个x都满足_，我们就称这个函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的 ，对于周期函数f(x)，如果在它的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的_正周期 (2)简单性质： 如果T是函数f(x)的周期，则nT(nZ，n0)都是它的周期,f(xT)f(x),周期,最小,4(2014山师大附中模拟)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，则f(2014.5)_. 解析：f(2014.5)f(0.5)f(0.5) 1.5. 答案：1.5,考 点 突 破,函数的单调性,函数的值域与最值,思维导引 利用赋值法求出f(1)，然后确定函数的单调性，最后根据函数的单调性确定所求的最值,求函数值域或最值的常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域或最值 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出值域或最值 (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值,(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域或最值,函数的周期性,思维导引 (1)根据f(x3)f(x)推证函数f(x)的周期性，然后计算在一个周期内的函数值之和，把所求的函数值分组求解；(2)作出图象，根据图象进行判断 解 (1)对任意xR，都有f(x3)f(x)， f(x6)f(x33)f(x3)f(x)， f(x)是以6为周期的周期函数， 当3x1时，f(x)(x2)2， 当1x3时，f(x)x， f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1， f(4)f(2)0，,即时突破3 已知函数f(x)是定义在(，)上的奇函数，若对于任意的实数x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2014)f(2015)的值为( ) A1 B2 C2 D1,解析：x0时，f(x2)f(x)， x0时，函数f(x)的周期T2， 又f(x)是R上的奇函数， 且x0,2)时，f(x)log2(x1)， f(2014)f(2015)f(2014)f(2015) f(0)f(1) log21log22 1. 故选D.,忽视分段函数的分界点致误,分析：函数f(x)在(，)上单调递减，除两段函数单调递减外，还要在“分界点”处的函数值使整个函数保持递减,易错提醒：解决本题易忽略对上、下两段函数中的端点值的比较，而错选B致误，对于分段函数的单调性在保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值的大小关系,
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