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,第11节 导数的简单应用,基 础 梳 理,1函数的单调性与导数 (1)函数yf(x)在某个区间内可导 若f(x)0，则f(x)在这个区间内 ； 若f(x)0，则f(x)在这个区间内 ； 如果在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为 (2)单调性的应用 若函数yf(x)在区间(a，b)上单调，则yf(x)在该区间上不变号,单调递增,单调递减,常函数,质疑探究1：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件,2函数的极值与导数 (1)函数极小值的概念满足 函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都 ； f(a) ； 在点xa附近的左侧 ，右侧 ； 则点xa叫做函数yf(x)的 ，f(a)叫做函数yf(x)的 ,0,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,小,(2)函数极大值的概念满足 函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都 ； f(b) ； 在点xb附近的左侧 ，右侧 ； 则点xb叫做函数yf(x)的 ，f(b)叫做函数yf(x)的 ；极小值点与极大值点统称为 ，极小值与极大值统称为 ,0,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值,极值点,极值,大,(3)求可导函数极值的步骤 求导数f(x)； 求方程f(x)0的根； 列表，检验f(x)在方程f(x)0的根左右两侧的符号(判断yf(x)在根左右两侧的单调性)，如果左正右负(左增右减)，那么f(x)在这个根处取得 如果左负右正(左减右增)，那么f(x)在这个根处取得 如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点,极大值,极小值,质疑探究2：f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取极值的什么条件？ 提示：必要不充分条件，因为当f(x0)0且x0左右两端的导数符号变化时，才能说f(x)在xx0处取得极值反过来，如果可导函数f(x)在xx0处取极值，则一定有f(x0)0.,3函数的最值与导数 求函数yf(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值的步骤： (1)求yf(x)在(a，b)内的 ； (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中 的一个为最大值， 的一个为最小值,极值,最大,最小,4利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)并确定定义域； (2)求导数f(x)，解方程f(x)0； (3)判断使f(x)0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答,3从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( ) A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm3,答案：C,考 点 突 破,例1 设函数f(x)(xa)eax(aR) (1)求函数f(x)的单调区间； (2)如函数f(x)在区间(4,4)内单调递增，求a的取值范围 思维导引 (1)求出f(x)，就参数a的范围确定导数的符号，根据导数与单调性的关系得出结论；(2)转化为函数的导数在区间(4,4)内大于或者等于零恒成立,利用导数研究函数的单调性,含有字母参数的函数的单调性需要根据参数的取值范围进行讨论根据导数解决函数的单调性时，只要解导数大于0和小于0的不等式即可，但根据单调性确定函数解析式中的参数时，若是函数在区间D内单调递增，则需要导数在区间D内大于或者等于0恒成立，而不单纯是大于0恒成立如果函数在一个区间上单调，则这个函数的导数在这个区间上一定存在变号零点,利用导数研究函数的极值,思维导引 (1)根据导数的几何意义得关于a的方程求得a值；(2)求导数等于零的点，并根据导数在这些点左右两侧的符号确定极值点，求出极值,运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤： (1)先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)； (2)求方程f(x)0的根； (3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值如果左右符号相同，则此根处不是极值点,解：(1)f(x)x2(m1)x， 由f(x)在x1处取得极大值， 得f(1)1(m1)0， 则m0，经检验m0符合题意， 所以m0.,(2)因为f(x)在区间(2，)为增函数， 所以f(x)x2(m1)xx(xm1)0在区间(2，)恒成立， 所以xm10恒成立， 即mx1恒成立 由于x2，得m1， 所以m的取值范围是m1.,当m1时，h(x)、h(x)随x的变化情况如下表：,例3 已知函数f(x)x2eax，其中a0，e为自然对数的底数 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)在区间0,1上的最大值,利用导数研究函数的最值,思维导引 (1)就参数a的不同取值讨论导数的符号；(2)根据函数的极值点与已知区间的位置关系进行分类讨论 解 (1)f(x)2xeaxx2aeaxx(ax2)eax. 当a0时，由f(x)0得x0， 由f(x)0得x0. 故函数f(x)在(0，)单调递增，在(，0)单调递减；,求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，首先可判断函数在a，b上的单调性，若函数在a，b上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值若函数在a，b上不单调，一般先求a，b上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值,利用导数研究生活中的优化问题,(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 思维导引 (1)先求出从甲地到乙地的时间，再与y相乘，即得耗油量(2)首先由每小时耗油量时间，得到总耗油量关于行驶速度x的函数解析式，利用导数求最值,当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数， 所以当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25， 因为h(x)在(0,120上只有一个极值， 所以它是最小值 故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升,即时突破4 (2014吉林省吉林市二模)某蔬菜基地有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格f(x)(单位：元/kg)与时间x(单位：天，x(0,8且xN*)的数据如下表： (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系：f(x)axb，f(x)ax2bxc，f(x)abx，其中a0，并求出此函数；,解：(1)根据表中数据，表述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数，这与函数f(x)axb，f(x)abx，均具有单调性不符，所以，在a0的前提下，可选取二次函数f(x)ax2bxc进行描述 把表格提供的三对数据代入该解析式得到：,
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