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,第4节 证明方法,基 础 梳 理,1直接证明 (1)综合法 定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出_ _的证明方法,所要证明的结论,成立,(2)分析法 定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为_ _(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法,判定一个,明显成立的条件,质疑探究1：综合法和分析法有什么区别与联系？ 提示：(1)分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它成立的充分条件(2)综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它成立的必要条件(3)分析法易于探索解题思路，综合法易于过程表述，在应用中视具体情况择优选之,2间接证明反证法 一般地，假设原命题_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明了_，这样的证明方法叫做反证法,不成立,假设错误,原命题成立,3数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立； (2)归纳递推：假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法,nk1,质疑探究2：数学归纳法两个步骤有什么关系？ 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误 (1)第一步中， 验算nn0中的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2或3等 (2)第二步中，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，掌握“一凑假设，二凑结论”的技巧,答案：C,解析：因为a2b21a2b20(a21)(b21)0. 故选D. 答案：D,3(2014东营模拟)用反证法证明命题：“若a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是( ) Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除 Ca，b不都能被5整除 Da能被5整除 解析：“至少有一个”的反面应是“一个都没有” 故应选B. 答案：B,4(2014吉林长春一模)用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时，当n1时左边表达式是_；从kk1需增添的项是_ 解析：因为用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时，当n1时2n13，所以左边表达式是123；从kk1需增添的项的是4k5或(2k2)(2k3) 答案：123 4k5(或(2k2)(2k3),考 点 突 破,例1 (2014南昌模拟)对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数试判断g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，如果是，请予证明，如果不是，请说明理由 思维导引 对三个条件逐一验证，若都满足，则g(x)是理想函数，否则不是理想函数,综合法,解 g(x)2x1(x0,1)是理想函数，证明如下： 因为x0,1，所以2x1,2x10， 即对任意x0,1，总有g(x)0，满足条件. g(1)211211，满足条件. 当x10，x20，x1x21时， g(x1x2)2x1x21， g(x1)g(x2)2x112x21，,于是g(x1x2)g(x1)g(x2) (2x1x21)(2x112x21) 2x12x22x12x21 (2x11)(2x21) 由于x10，x20， 所以2x110,2x210， 于是g(x1x2)g(x1)g(x2)0， 因此g(x1x2)g(x1)g(x2)，满足条件， 故函数g(x)2x1(x0,1)是理想函数,(1)用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论(2)在用综合法证明时，注意逻辑表达清晰，因果关系明确,分析法,(1)分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证 (2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立,反证法,数学归纳法,(1)利用数学归纳法可以证明与n有关的命题，也可以解决与正整数n有关的探索性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”证明的关键是：假设nk(kN*，kn0)时命题成立，由归纳假设推证nk1时命题成立,(2)证明nk1(kN*，kn0)时命题成立的常用技巧 分析nk1时命题与nk时命题形式的差别，确定证明目标 证明恒等式时常用乘法公式、因式分解、添拆项配方等；证明不等式常用分析法、综合法、放缩法等,
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